点集拓扑速成

点集拓扑的个人抄书学习笔记．

点集拓扑是现代分析学的基础． 点集拓扑本身不是什么前沿的研究领域，但其中的概念广泛用于分析学，已经是最基本的数学语言， 因此要接触现代数学，就必须对点集拓扑有所了解． 点集拓扑内容繁杂，许多细节也并不重要，本文记录其中较为重要的内容．

文章内容主来自以下教材：

• Tu, L.W. (2011). An Introduction to Manifolds. Universitext. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7400-6_1．

笔者会在原文内容之间插入在各种其他地方了解到的零零散散的个人理解．

点集拓扑的动机

拓扑的定义来源于对欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的几何性质的研究． 给定 $x\in {\mathbb{R}}^n$，我们默认其分量为

$$x=\left(x^1,\dots ,x^n\right)\in {\mathbb{R}}^n.$$

对于任意点 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$，我们熟知两点之间的距离为

$$d(x,y)={\left(\sum _{i=1}^n{\left|x^i-y^i\right|}^2\right)}^{1/2},$$

其具有以下性质：对任意 $x,y,z\in {\mathbb{R}}^n$，

1. $d(x,y)\ge 0$ 且 $d(x,y)=0$ 当且仅当 $x=y$；
2. $d(x,y)=d(y,x)$；
3. （三角不等式）$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$．

类比 $\mathbb{R}$ 上邻域的定义，对任意 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 和 $\epsilon >0$， 定义 $x$ 的 $\epsilon$ 邻域为

$$B(x;\epsilon )=\{y\in {\mathbb{R}}^n|d(x,y)<\epsilon \}.$$

定义中的小于号表明 $\epsilon$ 邻域不包含边界，在图像上用虚线表示．

平面上的 ε 邻域．

${\mathbb{R}}^n$ 中有两类特殊的集合，我们把不包含边界的集合称为“开集”，包含边界的集合称为“闭集”． 这当然不是严格定义，因为我们并没有在分析学上给出“边界”的定义． 事实上这一概念的定义并不容易，实际情况是先定义了开集和闭集，然后才定义边界．

开集可以有各种各样的形状，而我们能明确视作开集的集合只有 $\epsilon$ 邻域． 从几何上看，任意多开集的并依然是开集，它们都不包含边界． 受此启发，我们可以把开集定义为 $\epsilon$ 邻域的并， 即 $U\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是开集，当且仅当存在一族邻域 $\{B_{\alpha }\}$ 使得

$$U=\bigcup _{\alpha }{B}_{\alpha }.$$

由于每个邻域都有一个中心，我们只要保证对任意 $x\in U$ 都存在相应的 $B(x;{\epsilon }_x)$ 使得

$$x\in B(x;{\epsilon }_x)\subseteq U,\text{\hspace{1em}(1)}$$

则

$$U=\bigcup _{x\in U}B(x;{\epsilon }_x).$$

式 (1) 就作为开集的定义．

平面中开集定义的示意图．

定义 1 设 $U\in {\mathbb{R}}^n$，若对任意 $x\in U$ 都存在相应的 $\epsilon >0$ 使得

$$x\in B(x;\epsilon )\subseteq U,$$

则称 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个开集．

闭集的定义更为简单：补集为开集的集合称为闭集．

现在可以在数学上证明:

1. 任意多个开集的并是开集；
2. 有限多个开集的交是开集；
3. ${\mathbb{R}}^n$ 和 $\varnothing$ 是开集．

由于我们主要阐明点集拓扑的动机，这里不给出证明（实际上并不困难，读者可自行尝试）． 上述三条性质只涉及了集合的交与并运算，从代数角度来看，它们非常适合作为某种抽象结构的定义， 这就是拓扑的定义：对任意并运算封闭，对有限交运算封闭．

虽然闭集定义为开集的补集，但从图像上可知，闭集是包含边界的， 这意味着边界上的点可由内部的点逐渐逼近． 例如，对于闭集 $[0,1]$，可从中取点列 $\{1/n\}$，其极限就是 $0$． 而对于开集 $(0,1)$，上述点列的收敛值 $0$ 不被包含在内． 这就导出了 ${\mathbb{R}}^n$ 中闭集的另一重要性质：对极限运算封闭．

由于这一节只用于阐述动机，上面的讨论都不是严谨的． 但是在阅读正文时，${\mathbb{R}}^n$——尤其是 ${\mathbb{R}}^2$——上的例子可时刻作为理解抽象概念的重要例子．

拓扑空间

普通的集合一般使用斜体或正体字母表示，如 $A$、$B$、$S$、$T$． 而对于集合的集合（例如 $S$ 的子集构成的集合），我们使用书法体字母表示，如 $\mathcal{A}$、$\mathcal{B}$、$\mathcal{S}$、$\mathcal{T}$，称之为集合族． 若集合族 $\mathcal{T}$ 中的元素都是 $S$ 的子集，则称 $\mathcal{T}$ 是 $S$ 上的集合族．

定义 2 设 $S$ 是任意集合，$\mathcal{T}$ 是 $S$ 上的集合族．如果

1. $\varnothing ,S\in \mathcal{T}$；
2. 对任意一族 $\mathcal{T}$ 中的集合 $\{U_{\alpha }\in \mathcal{T}|\alpha \in A\}$ 有 ${\bigcup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }\in \mathcal{T}$；
3. 对任意有限个 $U_1,\dots ,U_n\in \mathcal{T}$ 有 $U_1\cap \cdots \cap U_n\in \mathcal{T}$，

则称 $\mathcal{T}$ 是 $S$ 上的一个拓扑（topology）， 称 $(S,\mathcal{T})$ 是一个拓扑空间（topological space）， 称 $\mathcal{T}$ 中的元素为开集（open set）． 多数情况下拓扑 $\mathcal{T}$ 可由上下文确定，此时简称 $S$ 为拓扑空间．

对于 ${\mathbb{R}}^n$，我们默认其带有以下标准拓扑．

定义 3 ${\mathbb{R}}^n$ 上的标准拓扑定义为

$$\{U\subseteq {\mathbb{R}}^n|\forall x\in U:\exists \epsilon >0:x\in B(x;\epsilon )\subseteq U\}.$$

一般地，若 $U$ 是开集且 $p\in U$，则称 $U$ 是 $p$ 的一个邻域（neighborhood）．

与阐述动机时引出 ${\mathbb{R}}^n$ 中开集定义的分析类似，我们有一个常用的开集判别法则．

引理 1（开集的局部判别法则） 设 $S$ 是拓扑空间，$A\subseteq S$， 则 $A$ 是开集当且仅当对任意 $p\in A$，存在开集 $V$ 使得 $p\in V\subseteq A$．

证明 $(⟹)$ 若 $A$ 是开集，令 $V=A$ 即证．

$(⟸)$ 若对任意 $p\in A$，存在开集 $V_p$ 使得 $p\in V_p\subseteq A$，则

$$A\subseteq \bigcup _{p\in A}{V}_p\subseteq A,$$

于是 $A={\bigcup }_{p\in A}{V}_p$ 是开集的并，从而是开集．

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例 1 对任意集合 $S$，$\{\varnothing ,S\}$ 是一个拓扑，称为平凡拓扑（trivial topology）．

例 2 对任意集合 $S$，其幂集——全体 $S$ 的子集构成的集合族——是一个拓扑，称为离散拓扑（discrete topology），此时 $S$ 称为离散空间（discrete space）． 离散拓扑可由所有单元素集合 $\{p\}$ 确定：如果所有单元素集合都是开集，则 $S$ 的任意子集 $U$ 都有 $U={\bigcup }_{p\in U}\{p\}$ 为开集．

例 3 在 $\mathbb{R}$ 上，所有开区间 $(a,b)$ 都是开集，这是因为对任意 $x\in (a,b)$，都存在 $\epsilon =\min \{x-a,b-x\}$ 使得 $x\in B(x;\epsilon )=(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq (a,b)$．

$\mathbb{R}$ 上的闭区间 $[a,b]$ 不是开集，因为对于 $a\in [a,b]$，任何包含 $a$ 的邻域都必然包含小于 $a$ 的元素． 但闭区间 $[a,b]$ 是闭集，因为其补集 $(-\infty ,a)\cup (b,+\infty )$ 是开集．

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定义 4 设 $S$ 是拓扑空间，$F\subseteq S$．若 $F$ 的补集 $X-F$ 是开集，则称 $F$ 为闭集（closed set）．

根据 de Morgan 律，闭集对任意交运算封闭，对有限并运算封闭． 根据 de Morgan 律的对称性，我们也可以通过定义闭集来确定拓扑，这只是两种不同的定义顺序，本质都是相同的．

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例 4 $\mathbb{R}$ 上的有限补拓扑（Finite-complement topology）定义为

$$\mathcal{T}=\{\varnothing ,\mathbb{R}\}\cup \{U\subseteq \mathbb{R}|\mathbb{R}-U\text{是有限集}\}.$$

这等价于定义闭集是 $\varnothing ,\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{R}$ 上的有限集． 想要证明 $\mathcal{T}$ 是拓扑，只需证明其对任意并运算和有限交运算封闭．

假设 $\{F_{\alpha }|\alpha \in A\}$ 和 $\{F_1,\dots ,F_n\}$ 都是 $\mathbb{R}$ 中有限集构成的集合族， 则

$$\bigcup _{\alpha \in A}(\mathbb{R}-F_{\alpha })=\mathbb{R}-\bigcap _{\alpha \in A}{F}_{\alpha },\bigcap _{i=1}^n(\mathbb{R}-F_i)=\mathbb{R}-\bigcup _{i=1}^n{F}_i,$$

等号右侧都是有限集的补集，从而容易证明 $\mathcal{T}$ 确实是拓扑．

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子空间拓扑

定义 5 设 $(S,\mathcal{T})$ 是拓扑空间，$A\subseteq S$．定义

$${\mathcal{T}}_A=\{U\cap A|U\in \mathcal{T}\},$$

称其为 $A$ 相对于 $S$ 的子空间拓扑（subspace topology）， 称 $(A,{\mathcal{T}}_A)$ 或 $A$ 为相对于 $S$ 的子空间（subspace）． 对任意 $V\in {\mathcal{T}}_A$，称 $V$ 是 $A$ 中的开集．

要验证 ${\mathcal{T}}_A$ 确实是拓扑是很容易的，只需要用到交并运算的分配律． 在讨论子空间拓扑时，需要特别注意开集是相对于哪个空间的．

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例 5 考虑 $\mathbb{R}$ 及其子空间 $A=[0,1]$，区间 $[0,1/2)$ 是 $A$ 中的开集，因为存在 $\mathbb{R}$ 中的开集 $(-1/2,1/2)$ 使得

$$[0,1/2)=(-1/2,1/2)\cap A.$$

然而 $[0,1/2)$ 不是 $\mathbb{R}$ 中的开集．

基

要完整给出拓扑 $\mathcal{T}$ 的定义通常是困难的． 如同导言中定义 ${\mathbb{R}}^n$ 的开集那样，我们希望给定一个较小的集合族 $\mathcal{B}$， 并让开集为 $\mathcal{B}$ 中任意多元素的并，即让以下集合族成为拓扑：

$$\mathcal{T}=\left\{\bigcup _{A\in \mathcal{A}}A|\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}\right\}.$$

此时称 $\mathcal{B}$ 生成（generate）了拓扑 $\mathcal{T}$． 当然，并非所有集合族 $\mathcal{B}$ 生成的 $\mathcal{T}$ 都是拓扑，$\mathcal{B}$ 是要满足一定条件的．

定义 6 设 $(S,\mathcal{T})$ 是拓扑空间，$\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$． 若对任意开集 $U\in \mathcal{T}$ 和任意 $p\in U$，都存在开集 $B\in \mathcal{B}$ 使得 $p\in B\subseteq U$，则称 $\mathcal{B}$ 为拓扑 $\mathcal{T}$ 的一个基（basis）．

命题 2 设 $S$ 是拓扑空间，$\mathcal{B}$ 是一族开集， 则 $\mathcal{B}$ 是 $S$ 的基当且仅当任意开集都能写成 $\mathcal{B}$ 中若干元素的并．

证明 $(⟹)$ 设 $\mathcal{B}$ 是基，则对任意开集 $U$ 以及 $p\in U$， 存在相应的 $B_p\in \mathcal{B}$ 使得 $p\in B_p\subseteq U$， 于是 $U={\bigcup }_{p\in U}{B}_p$ 是开集的并，也是开集．

$(⟸)$ 设任意开集都能写成 $\mathcal{B}$ 中若干元素的并， 则给定开集 $U$ 和某个 $p\in U$，存在一族 $\{B_{\alpha }\}\subseteq \mathcal{B}$ 使得 $U={\bigcup }_{\alpha }{B}_{\alpha }$，从中可选择某个特定的 $B_{\alpha }$ 使得 $p\in B_{\alpha }\subseteq U$．于是 $\mathcal{B}$ 是基．

要找到基通常并不是很显然的，可能需要许多种尝试，因此我们需要一种方法判断一个集合族 $\mathcal{B}$ 是否能作为基．

命题 3 设 $S$ 是任意集合，$\mathcal{B}$ 是 $S$ 上的集合族， 则 $\mathcal{B}$ 是 $S$ 上某个拓扑的基当且仅当：

1. $S$ 是 $\mathcal{B}$ 中所有元素的并；
2. 对任意 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$ 以及 $p\in B_1\cap B_2$，存在 $B\in \mathcal{B}$ 使得 $p\in B\subseteq B_1\cap B_2$．

基的判定．

证明 $(⟹)$ 若 $\mathcal{B}$ 是某个拓扑的基，则拓扑中的所有元素都能写成 $\mathcal{B}$ 中元素的并，特别地也包括 $S$． 对任意 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$ 以及 $p\in B_1\cap B_2$，由于 $B_1\cap B_2$ 是开集， 它也是若干 $\mathcal{B}$ 中元素的并，从而可从中特别地取出一个 $B$ 使得 $p\in B\subseteq B_1\cap B_2$．

$(⟸)$ 令 $\mathcal{T}$ 是 $\mathcal{B}$ 中任意多元素的并构成的集合族，则 $\varnothing ,S\in \mathcal{T}$，且显然 $\mathcal{T}$ 对任意并封闭，故只需证明其对有限交封闭．

任取 $U={\bigcup }_{\mu }{B}_{\mu }\in \mathcal{T}$ 和 $V={\bigcup }_{\nu }{B}_{\nu }\in \mathcal{T}$， 其中 $B_{\mu },B_{\nu }\in \mathcal{B}$，则

$$U\cap V=\left(\bigcup _{\mu }{B}_{\mu }\right)\cap \left(\bigcup _{\nu }{B}_{\nu }\right)=\bigcup _{\mu ,\nu }(B_{\mu }\cap B_{\nu }),$$

于是对任意 $p\in U\cap V$，存在某对 $\mu ,\nu$ 使得 $p\in B_{\mu }\cap B_{\nu }$， 从而存在 $B_p\in \mathcal{B}$ 使得 $p\in B_p\subseteq B_{\mu }\cap B_{\nu }\subseteq U\cap V$．故

$$U\cap V=\bigcup _{p\in U\cap V}{B}_p\in \mathcal{T}.$$

拓扑的基能够很自然的扩展到其子空间上．

命题 4 设 $S$ 是拓扑空间 $\mathcal{B}=\{B_{\alpha }\}$ 是其基，$A$ 是 $S$ 的子空间，则 $\{B_{\alpha }\cap A\}$ 是 $A$ 的基．

证明 设 $U^{\prime }$ 是 $A$ 中任意的开集，$p\in U^{\prime }$． 由子空间的定义，存在 $S$ 中的开集 $U$ 使得 $U^{\prime }=U\cap A$， 故 $p\in U\cap A\subseteq U$，从而存在基元素 $B_{\alpha }$ 使得 $p\in B_{\alpha }\subseteq U$． 于是

$$p\in B_{\alpha }\cap A\subseteq U\cap A=U^{\prime }.$$

由 $U^{\prime }$ 和 $p$ 的任意性，$\{B_{\alpha }\cap A\}$ 是 $A$ 的基．

第一与第二可数性

基的可数性对证明过程有着重要影响，只有不可数的基的拓扑空间会很难处理． 在引入第一和第二可数性前，我们先关注欧几里得空间中的一些例子．

对于 ${\mathbb{R}}^n$ 中的点，若其各坐标分量都是有理数，则称其为一个有理点． 记有理数集为 $\mathbb{Q}$，正有理数集为 ${\mathbb{Q}}^{+}$． 在实分析中有经典结论：$\mathbb{R}$ 中的任意开区间都包含至少一个有理点（当然事实上有无穷多个）．

引理 5 ${\mathbb{R}}^n$ 中的任意开集都包含一个有理点．

证明 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集 $U$ 包含一个邻域 $B(p;r)$，其中 $p\in U$ 且 $r>0$． 这个邻域又包含了开立方体 ${\prod }_{i=1}^n{I}_i$，其中

$$I_i=\left(p^i-\frac{r}{\sqrt{n}},p^i+\frac{r}{\sqrt{n}}\right),$$

这是因为对任意开立方体中的点 $q$ 有

$$\begin{array}{rl}d(p,q)& ={\left(\sum _{i=1}^n{\left|p^i-q^i\right|}^2\right)}^{1/2}\\ & \le {\left(\sum _{i=1}^n{\left(\frac{r}{\sqrt{n}}\right)}^2\right)}^{1/2}\\ & ={\left(\sum _{i=1}^n\frac{r^2}{n}\right)}^{1/2}\\ & =r.\end{array}$$

对任意 $i$，令 $q^i$ 是 $I_i$ 中的有理点，则 $\left(q^1,\dots ,q^n\right)$ 是开立方体中的有理点，自然也是 $U$ 中的有理点．

命题 6 记 ${\mathbb{R}}^n$ 中所有以有理点为中心、正有理数为半径的邻域构成的集合族为 ${\mathcal{B}}_{\mathrm{rat}}$，则 ${\mathcal{B}}_{\mathrm{rat}}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的基．

证明 对任意 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集 $U$ 以及 $p\in U$，根据标准拓扑的定义，存在 $r^{\prime }>0$ 使得 $p\in B(p;r^{\prime })\subseteq U$． 取有理数 $r\in (0,r^{\prime })$，则 $p\in B(p;r)\subseteq U$． 在邻域 $B(p;r/2)$ 中能取一个有理点 $q$，下面只需证明

$$p\in B\left(q;\frac{r}{2}\right)\subseteq B(p;r).$$

由于 $d(p,q)<r/2$，我们有 $p\in B(q,r/2)$． 对任意 $x\in B(q,r/2)$，由欧几里得记录的三角不等式得

$$d(x,p)\le d(x,q)+d(q,p)<\frac{r}{2}+\frac{r}{2}=r,$$

因此 $x\in B(p;r)$，从而 $B(q;r/2)\subseteq B(p;r)$．

定义 7 具有可数基的拓扑空间称为第二可数空间（second countable space）．

例 6 带有标准拓扑的 ${\mathbb{R}}^n$ 是第二可数空间，${\mathcal{B}}_{\mathrm{rat}}$ 就是一个可数基． 带有离散拓扑的 ${\mathbb{R}}^n$ 不是第二可数空间，因为离散拓扑中的单元素集合都是不可数的． 一般地，不可数的离散拓扑不是第二可数空间．

显然子空间的基与原空间的基至多具有相同个数的元素，即：

命题 7 第二可数空间的子空间是第二可数的．

定义 8 设 $S$ 是拓扑空间，$p\in S$， 设 $\mathcal{B}=\{B_{\alpha }\}$ 是 $p$ 的一族邻域． 若对任意包含 $p$ 开集 $U$ 都存在相应的 $B_{\alpha }\in \mathcal{B}$ 使得 $p\in B_{\alpha }\subseteq U$， 则称 $\mathcal{B}$ 是 $p$ 的一个邻域基（basis of neighborhood 或 neighborhood basis）． 若对任意 $p\in S$，$p$ 都具有可数的邻域基，则称 $S$ 是第一可数空间（first countable space）．

例 7 对任意 $p\in {\mathbb{R}}^n$，$\{B(p;1/n){\}}_{n=1}^{\infty }$ 是 $p$ 的可数邻域基，故 ${\mathbb{R}}^n$ 是第一可数空间．

命题 8 第二可数空间是第一可数的．

证明 设 $S$ 是第二可数空间，其具有可数基 $\mathcal{B}$． 对任意 $p\in S$ 以及 $p$ 的邻域 $U$，由基的定义，存在相应的 $B\in \mathcal{B}$ 使得 $p\in B\subseteq U$， 因此 $\mathcal{B}$ 是 $p$ 的邻域基，是可数的．

假设 $p$ 是第一可数空间中的点，$\{V_i{\}}_{i=1}^{\infty }$ 是其可数邻域基． 令 $U_i=V_1\cap \cdots \cap V_i$，则 $U_i$ 也是开集，且

$$U_1\supseteq U_2\supseteq U_3\supseteq \cdots ,$$

它们构成单调递减的一族 $p$ 的邻域基．因此，不失一般性，第一可数空间的邻域基都可认为是单调递减的．

分离公理

从几何上看，${\mathbb{R}}^n$ 中不相交的闭集能够被两个不相交的开集包裹．这种分离性具有重要的应用．

定义 9 设 $S$ 是拓扑空间．若对 $S$ 中任意不同的两点 $x,y$ 均存在不相交的开集 $U,V$ 使得 $x\in U$ 且 $y\in V$，则称 $S$ 是 Hausdorff 的． 对于 Hausdorff 空间 $S$，若对任意不相交的闭集 $F,G$ 都存在不相交的开集 $U,V$ 使得 $F\subseteq U$ 且 $G\subseteq V$，则称 $S$ 是正规的（normal）．

Hausdorff 条件与正规性．

命题 9 Hausdorff 空间中的单元素集是闭集．

证明 设 $S$ 是 Hausdorff 空间．任取 $x\in S$，对任意 $y\in S-\{x\}$，由 Hausdorff 条件， 存在开集 $U\ni x$ 和 $V\ni y$ 使得 $U,V$ 不相交．于是

$$y\in V\subseteq S-U\subseteq S-\{x\},$$

由开集的局部判定法则可知 $S-\{x\}$ 是开集，故 $\{x\}$ 是闭集．

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例 8 ${\mathbb{R}}^n$ 是 Hausdorff 空间，因为对任意不同的两点 $x,y$，令 $\epsilon =\frac{1}{2}d(x,y)$， 则 $B(x;\epsilon )$ 和 $B(y;\epsilon )$ 不相交．

例 9 带有限补拓扑的 $\mathbb{R}$ 不是 Hausdorff 空间．反设其为 Hausdorff 空间，对任意不同的两点 $x,y\in \mathbb{R}$，设开集 $U\ni x$ 且 $V\ni y$． 若 $U=\mathbb{R}$ 或 $V=\mathbb{R}$，则 $U$ 与 $V$ 必然相交，故若只可能 $\mathbb{R}-U$ 和 $\mathbb{R}-V$ 都是有限集．此时

$$(\mathbb{R}-U)\cap (\mathbb{R}-V)=\mathbb{R}-(U\cap V)$$

也是有限集，故 $U\cap V$ 是无限集，不为空，矛盾．

尽管带有限补拓扑的 $\mathbb{R}$ 不是 Hausdorff 空间，其单元素集也是闭集．

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命题 10 Hausdorff 空间的子空间是 Hausdorff 空间．

证明 设 $S$ 是 Hausdorff 空间，$A$ 是其子空间． 对任意不同的 $x,y\in A$，存在 $S$ 中的不相交开集 $U\ni x$ 且 $V\ni y$， 则 $U\cap A\ni x$ 且 $V\cap A\ni y$ 是 $A$ 中不相交的两个开集，故 $A$ 是 Hausdorff 的．

积拓扑

对于拓扑空间的笛卡尔积，我们有标准方法定义其上的拓扑．

定义 10 设 $(X,{\mathcal{T}}_X)$ 和 $(Y,{\mathcal{T}}_Y)$ 是拓扑空间，令

$$\mathcal{B}=\{U\times V|U\in {\mathcal{T}}_X,V\in {\mathcal{T}}_y\}\subseteq X\times Y,$$

称 $\mathcal{B}$ 生成的拓扑是 $X\times Y$ 上的积拓扑（product topology）．

上述定义需要确认 $\mathcal{B}$ 是基． $X\times Y\in \mathcal{B}$ 是显然的． 对任意 $U_1\times V_1$ 和 $U_2\times V_2$，其中 $U_1,U_2\in {\mathcal{T}}_X$，$V_1,V_2\in {\mathcal{T}}_Y$，有

$$(U_1\times V_1)\times (U_2\times V_2)=(U_1\cap U_2)\times (V_1\cap V_2)\in \mathcal{B},$$

因此 $\mathcal{B}$ 确实是基．

若无特殊说明，我们默认 $X\times Y$ 具有积拓扑．由于我们通常用基描述拓扑，自然也希望 $X\times Y$ 的积拓扑能从 $X$ 与 $Y$ 上的基计算得到．

命题 11 设 $\{U_i\}$ 和 $\{V_j\}$ 分别是拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 的基，则 $\{U_i\times V_j\}$ 是 $X\times Y$ 的基．

证明 对任意 $X\times Y$ 中的开集以及 $(x,y)\in W$，其中 $x\in X$，$y\in Y$， 存在开集 $U_i$ 和 $V_j$ 使得 $x\in U_i\subseteq X$ 且 $y\in V_j\subseteq Y$， 于是 $(x,y)\subseteq U_i\times V_j\subseteq X\times Y$．

推论 12 第二可数空间的积拓扑空间是第二可数的．

命题 13 Hausdorff 空间的及拓扑空间是 Hausdorff 空间．

证明 设 $X$ 和 $Y$ 是 Hausdorff 空间，取 $X\times Y$ 中不同的两点 $(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$． 不妨设 $x_1\ne x_2$（否则 $y_1\ne y_2$，可同理证明），存在 $X$ 中的不相交开集 $U_1,U_2$ 使得 $x_1\in U_1$ 且 $x_2\in U_2$， 从而 $U_1\times Y$ 和 $U_2\times Y$ 是不相交开集，且分别包含 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$．

提示

${\mathbb{R}}^n$ 上的标准拓扑由球邻域 $B(x;\epsilon )$ 生成，而其积拓扑由全体形如 ${\prod }_{i=1}^n(a_i,b_i)$ 的开立方体生成．可以验证每个球邻域中都能包含一个更小的开立方体，也能被一个更大的开立方体包含，因此这两种基是相互包含的，从而生成相同的拓扑． 这也表示 ${\mathbb{R}}^n$ 上的邻域可以用球形的，也能用方形的，可根据实际需求酌情选择．

连续性

对于一元实变函数 $f:A\to \mathbb{R}$，其中 $A\subseteq \mathbb{R}$，我们称 $f$ 在点 $p\in A$ 处连续， 指的是对任意 $\epsilon >0$，存在相应的 $\delta >0$ 使得当 $|x-p|<\delta$ 时 $|f(x)-f(p)|<\epsilon$． 用邻域的写法，就是

$$\forall \epsilon >0:\exists \delta >0:x\in B(p;\delta )⟹f(x)\in B(f(p);\epsilon ),$$

或更进一步写成

$$\forall \epsilon >0:\exists \delta >0:f(B(p;\delta ))\subseteq B(f(p);\epsilon ).$$

这里 $B(f(p);\epsilon )$ 是 $f(p)$ 的任意邻域，对应的 $B(p;\delta )$ 是 $p$ 的邻域．受此启发，不难给出 $f$ 在 $p$ 处连续的等价条件．读者可能已经在实变函数或多元微积分中见过这个条件．

命题 14 设 $f:A\to \mathbb{R}$，$A\subseteq \mathbb{R}$，$p\in A$． $f$ 在 $p$ 处连续当且仅当对任意包含 $f(p)$ 的开集 $V$，存在包含 $p$ 的开集 $U$ 使得 $f(U)\subseteq V$．

证明 $(⟹)$ 若 $f$ 在 $p$ 处连续，则

$$\forall \epsilon >0:\exists \delta >0:f(B(p;\delta ))\subseteq B(f(p);\epsilon ).$$

对任意开集 $V\ni f(p)$，存在相应的 $\epsilon >0$ 使得 $f(p)\in B(f(p);\epsilon )\subseteq V$，进而存在相应的 $\delta >0$ 使得 $f(B(p;\delta ))\subseteq B(f(p);\epsilon )\subseteq V$． 令 $U=B(p;\delta )$，则 $f(U)\subseteq V$．

$(⟸)$ 若对任意包含 $f(p)$ 的开集 $V$，存在包含 $p$ 的开集 $U$ 使得 $f(U)\subseteq V$， 则对任意 $\epsilon >0$，置 $V=B(f(p);\epsilon )$，存在相应的开集 $U\ni p$ 使得 $f(U)\subseteq B(f(p);\epsilon )$． 由开集定义，存在 $\delta >0$ 使得 $B(p;\delta )\subseteq U$，故

$$f(B(p;\delta ))\subseteq f(U)\subseteq B(f(p);\epsilon ).$$

沿用这一定义，我们可以在一般的拓扑空间上定义连续性．

定义 11 设 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间，$f:X\to Y$． 对于给定的 $p\in X$，若对 $Y$ 中任意包含 $f(p)$ 的开集 $V$，都存在相应的 $X$ 中包含 $p$ 的邻域 $U$ 使得 $f(U)\subseteq V$，则称 $f$ 在点 $p$ 处连续（continuous）． 若 $f$ 在 $X$ 上的每一点处都连续，则称 $f$ 是连续的．

命题 15 设 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间，$f:X\to Y$． $f$ 是连续映射当且仅当对任意 $Y$ 中的开集 $V$，$f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集．

证明 $(⟹)$ 若 $f$ 是连续映射，则对任意 $Y$ 中的开集 $V$，我们要证明 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集． 任取 $p\in f^{-1}(V)$，则 $f(p)\in V$，由连续性可知存在开集 $U\ni p$ 使得 $f(U)\subseteq V$，因此 $p\in U\subseteq f^{-1}(V)$． 由开集的局部判别法则知 $f^{-1}(V)$ 是开集．

$(⟸)$ 若对任意 $Y$ 中的开集 $V$，$f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集， 则任取 $p\in X$ 和 $f(p)$ 的邻域 $V$，$f^{-1}(V)$ 是开集． 又 $f(p)\in V$ 表明 $p\in f^{-1}(V)$，故 $U=f^{-1}(V)$ 是 $p$ 的邻域， 且 $f(U)=f(f^{-1}(V))\subseteq V$，即 $f$ 在 $p$ 处连续．

例 10 设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的子空间，则包含映射 $i:A\to X$，$i(a)=a$ 是连续的． 这是因为任取开集 $U\subseteq X$，$i^{-1}(U)=U\cap A$ 是 $A$ 中的开集．

例 11 设 $X,Y$ 是拓扑空间，投影映射 $\pi :X\times Y\to X$，$\pi (x,y)=x$ 是连续映射． 这是因为对任意开集 $U\subseteq X$，${\pi }^{-1}(U)=U\times Y$ 是 $X\times Y$ 中的开集．

命题 16 设 $X,Y,Z$ 是拓扑空间，$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 是连续映射，则 $g\circ f:X\to Z$ 是连续映射．

证明 对任意 $Z$ 中的开集 $V$，

$$(g\circ f{)}^{-1}(V)=f^{-1}(g^{-1}(V)).$$

由 $g$ 的连续性，$g^{-1}(V)$ 是 $Y$ 中的开集． 由 $f$ 的连续性，$f^{-1}(g^{-1}(V))$ 是 $X$ 中的开集．

设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的子空间，则映射 $f:X\to Y$ 在 $A$ 上的限制（restriction）$f{|}_A$ 定义为

$$(f{|}_A)(a)=f(a).$$

利用包含映射 $i:A\to X$，$i(a)=a$，限制 $f{|}_A$ 其实就是复合映射 $f\circ i$，因此：

推论 17 若 $f:X\to Y$ 是连续映射，$A$ 是 $X$ 的子空间，则 $f{|}_A$ 是连续映射．

连续映射也能使用闭集描述．

命题 18 $f:X\to Y$ 是连续的当且仅当对任意 $Y$ 中的闭集 $F$，$f^{-1}(F)$ 是 $X$ 中的闭集．

证明 $(⟹)$ 设 $f$ 是连续的，则对任意 $Y$ 中的闭集 $F$，$Y-F$ 是开集，从而 $f^{-1}(Y-F)$ 是开集，于是

$$X-f^{-1}(Y-F)=X-(X-f^{-1}(F))=f^{-1}(F)$$

是闭集．

$(⟸)$ 若对任意 $Y$ 中的闭集 $F$，$f^{-1}(F)$ 是 $X$ 中的闭集， 则对任意 $Y$ 中的开集 $V$，$Y-V$ 是闭集，从而 $f^{-1}(Y-V)$ 是闭集，因此

$$X-f^{-1}(Y-V)=X-(X-f^{-1}(V))=f^{-1}(V)$$

是开集，$f$ 连续．

定义 12 设 $f:X\to Y$． 若对任意 $X$ 中的开集 $U$，$f(U)$ 都是 $Y$ 中的开集，则称 $f$ 是开映射（open map）． 若对任意 $X$ 中的闭集 $F$，$f(F)$ 都是 $Y$ 中的闭集，则称 $f$ 是闭映射（closed map）．

连续性等价于 $f^{-1}$ 是开映射和闭映射，但并不能保证 $f$ 是开映射或闭映射，例如常值函数将任意非空开集映射到单元素集．

紧致性

紧致性是拓扑学中的中心概念，它出现在各种研究领域中．

定义 13 设 $S$ 是拓扑空间，$\{U_{\alpha }\}$ 是其上的一族开集． 若 $S={\bigcup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$，则称 $\{U_{\alpha }\}$ 是 $S$ 的一个开覆盖（open cover）． 开覆盖的子族称为其子覆盖（subcover）． 若 $S$ 的任意开覆盖都存在有限子覆盖，则称 $S$ 是紧致的（compact）．

紧致性的定义可能没那么直观． 由于拓扑空间 $S$ 的性质主要由开集描述，能覆盖 $S$ 的开集族就能描述整个拓扑空间的性质． 当开覆盖总能取为有限覆盖时，描述 $S$ 的性质就会方便很多． 紧致性的具体细节需要到实际问题中体会．

对于 $S$ 的子空间 $A$，$A$ 在 $S$ 中的开覆盖定义为 $S$ 中的一族开集 $\{U_{\alpha }\}$ 且 $A\subseteq {\bigcup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$，这里并不要求 $U_{\alpha }$ 一定是 $A$ 中的元素． 若 $A$ 作为子空间是紧致的，则称 $A$ 是 $S$ 中的紧集．

命题 19 设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的子空间，则 $A$ 是紧致的当且仅当任意 $A$ 在 $S$ 中的开覆盖包含有限子覆盖．

证明 $(⟹)$ 设 $A$ 是紧致的．对任意 $A$ 在 $S$ 中的开覆盖 $\{U_{\alpha }\}$ 有

$$A=\left(\bigcup _{\alpha }{U}_{\alpha }\right)\cap A=\bigcup _{\alpha }(U_{\alpha }\cap A),$$

因而 $\{U_{\alpha }\cap A\}$ 是 $A$ 这个拓扑空间本身的开覆盖． 由于 $A$ 是紧致的，可选择有限个元素 $\{U_i\cap A{\}}_{i=1}^r$ 使得

$$A=\bigcup _{i=1}^r(U_i\cap A)=\left(\bigcup _{i=1}^r{U}_i\right)\cap A,$$

于是 $\{U_i\cap A{\}}_{i=1}^r$ 是有限子覆盖．

$(⟸)$ 设任意 $A$ 在 $S$ 中的开覆盖包含有限子覆盖． 任取 $A$ 中的开覆盖 $\{V_{\alpha }\}=\{U_{\alpha }\cap A\}$，其中 $U_{\alpha }$ 都是 $S$ 中的开集，则

$$A=\bigcup _{\alpha }{V}_{\alpha }\subseteq \bigcup _{\alpha }{U}_{\alpha },$$

因此 $\{U_{\alpha }\}$ 是 $A$ 在 $S$ 中的开覆盖，存在有限子覆盖 $\{U_i{\}}_{i=1}^r$，因此

$$A=\left(\bigcup _{i=1}^r{U}_i\right)\cap A=\bigcup _{i=1}^r(U_i\cap A)=\bigcup _{i=1}^r{V}_i,$$

从而 $\{V_i{\}}_{i=1}^r$ 是 $A$ 中的有限子覆盖．

也许读者曾见过这样的结论：${\mathbb{R}}^n$ 中的紧集与有界闭集是等价的．对于一般的拓扑空间，这只有一个方向成立．

命题 20 紧致拓扑空间中的闭集是紧集．

证明 设 $S$ 是紧致拓扑空间，$F$ 是闭集． 令 $\{U_{\alpha }\}$ 是 $F$ 在 $S$ 中的开覆盖，则 { U_\alpha, S - F }$ 是 $S$ 的一个开覆盖， 从而存在有限子覆盖 $\{U_i,S-F{\}}_{i=1}^r$，即

$$S=\bigcup _{i=1}^r{U}_i\cup (S-F).$$

于是

$$F\subseteq \bigcup _{i=1}^r{U}_i,$$

从而 $F$ 是紧集．

另一方向需要附加 Hausdorff 条件，即 Hausdorff 空间中的紧集是闭集． 为了证明这个命题，我们需要先证明 Hausdorff 空间中有关紧集的分离性．

命题 21 设 $S$ 是 Hausdorff 空间，$K$ 是紧集，$p$ 是 $K$ 之外的点， 则存在开集 $U\supseteq K$ 和 $V\ni p$ 使得 $U\cap V=\varnothing$．

证明 由 Hausdorff 条件，对任意 $x\in K$，存在不相交开集 $U_x\ni x$ 和 $V_x\ni p$． 集合族 $\{U_x{\}}_{x\in K}$ 是 $K$ 的开覆盖，从中可选择有限子覆盖 $\{U_i{\}}_{i=1}^r$ 以及相应的 $\{V_i{\}}_{i=1}^r$．

令 $U={\bigcup }_{i=1}^r{U}_i$，$V={\bigcup }_{i=1}^r{V}_i$，则

$$U\cap V=\bigcup _{i=1}^r(U_i\cap V)=\varnothing ,$$

且 $U\supseteq K$，$V\ni p$．

推论 22 Hausdorff 空间中的紧集是闭集．

证明 设 $S$ 是 Hausdorff 空间，$K$ 是其中的紧集． 对任意 $p\in S-K$，存在不相交开集 $U\supseteq K$ 和 $V\ni p$， 这意味着 $V$ 与 $K$ 也不相交，即 $V\subseteq S-k$，因此

$$p\in V\subseteq S-K.$$

由开集的局部判别法则可知 $S-K$ 是开集，故 $K$ 是闭集．

尽管连续映射并不一定是开映射或闭映射，但它是紧映射．

命题 23 设 $f:X\to Y$ 是连续函数，则对任意 $X$ 中的紧集 $K$，$f(K)$ 是 $Y$ 中的紧集．

证明 对任意 $f(K)$ 在 $Y$ 中的开覆盖 $\{V_{\alpha }\}$， 由于 $f$ 是连续映射，$f^{-1}(V_{\alpha })$ 是 $X$ 中的开集．又

$$K\subseteq f^{-1}(f(K))\subseteq f^{-1}\left(\bigcup _{\alpha }{V}_{\alpha }\right)=\bigcup _{\alpha }{f}^{-1}(V_{\alpha }),$$

故 $\{f^{-1}(V_{\alpha })\}$ 是 $K$ 在 $X$ 中的开覆盖，从而存在有限子覆盖 $\{f^{-1}(V_i){\}}_{i=1}^r$ 使得

$$K\subseteq \bigcup _{i=1}^r{f}^{-1}(V_i)=f^{-1}\left(\bigcup _{i=1}^r{V}_i\right),$$

于是 $f(K)\subseteq {\bigcup }_{i=1}^r{V}_i$，从而 $f(K)$ 是紧集．

要保证连续函数是闭映射，需要对拓扑空间做出限制，以紧映射作为中间媒介．

推论 24 设 $X$ 是紧致空间，$Y$ 是 Hausdorff 空间，$f:X\to Y$ 是连续映射，则 $f$ 是闭映射．

证明 设 $F$ 是 $X$ 中的闭集，则 $F$ 是 $X$ 中的紧集，因此 $f(F)$ 是 $Y$ 中的紧集，从而是 $Y$ 中的闭集．

除了连续性，拓扑学中研究的映射通常还需要包含连续的逆映射．

定义 14 设 $f:X\to Y$ 是连续的双射，若其逆映射也是连续的，则称 $f$ 为 $X$ 与 $Y$ 之间的一个同胚（homeomorphism）．

推论 25 设 $X$ 是紧致空间，$Y$ 是 Hausdorff 空间，$f:X\to Y$ 是连续双射，则 $f$ 是同胚．

证明 只需证明 $f^{-1}:Y\to X$ 是连续映射， 而这只需要证明对任意 $X$ 中的闭集 $F$ 有 $(f^{-1}{)}^{-1}(F)=f(F)$ 是 $Y$ 中的闭集， 即证明 $F$ 是闭映射．

我们不加证明地给出以下结论（其证明较为繁琐，此略）：

定理 26（Tychonoff 定理） 任意一族紧致拓扑空间的积是紧致拓扑空间．

连通性

定义 15 设 $S$ 是拓扑空间．若存在非空的不相交的开集 $U$ 和 $V$ 使得 $S=U\cup V$，则称 $S$ 是不连通的（disconnected）． 若 $S$ 不是不连通的，则称 $S$ 是连通的（connected）．对于子集 $A\subseteq S$，若 $A$ 作为子空间是不连通的，则称 $A$ 是不连通的．

连通集的几何意义非常直观．在 $\mathbb{R}$ 中，$[0,1)$ 是连通集，$(-1,0)\cup (0,1)$ 是不连通的．

命题 27 设 $A$ 是拓扑空间 $S$ 的子集，则 $A$ 是不连通集当且仅当存在开集 $U$ 和 $V$ 使得

1. $U\cap A\ne \varnothing$，$V\cap A\ne \varnothing$；
2. $U\cap V\cap A=\varnothing$；
3. $A\subseteq U\cup V$．

这样的一对 $U$ 和 $V$ 称为不连通集 $A$ 的一个分离（separation）．

不连通集的分离．

证明 $(⟹)$ 设 $A$ 是不连通集，则存在 $S$ 中的开集 $U,V$ 使得

1. $(U\cap A)\cap (V\cap A)=U\cap V\cap A=\varnothing$；
2. $A=(U\cap A)\cup (V\cap A)=(U\cup V)\cap A$；
3. $U\cap A$ 与 $V\cap A$ 作为 $A$ 中的开集非空．

从性质 2 可知 $A\subseteq U\cap V$．

$(⟸)$ 设存在开集 $U$ 和 $V$ 满足命题中的三个条件． $U\cap A\ne \varnothing$ 和 $V\cap A\ne \varnothing$ 表明 $U$、$V$、$A$ 非空． 作为 $A$ 中的开集，$U\cap A$ 和 $V\cap A$ 不相交，因为

$$(U\cap A)\cap (V\cap A)=U\cap V\cap A=\varnothing .$$

由 $A\subseteq U\cup V$ 可知

$$A\subseteq (U\cup V)\cap A=(U\cap A)\cup (V\cap A)\subseteq A,$$

因此 $A=(U\cap A)\cup (V\cap A)$，即 $A$ 作为子空间是两个不相交开集的并，故 $A$ 是不连通的．

我们已经知道连续映射能够保持紧致性，下面说明连续函数也能保持连通性．

命题 28 设 $X$ 是连通集，$f:X\to Y$ 是连续映射，则 $f(X)$ 是 $Y$ 中的连通集．

证明 假设 $f(X)$ 是不连通的，则其在 $Y$ 中存在分离 $U,V$． 由 $f$ 的连续性，$f^{-1}(U)$ 和 $f^{-1}(V)$ 都是 $X$ 中的开集． 下面证明 $f^{-1}(U)$ 和 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 的分离．

1. 由于 $U,V$ 是 $f(X)$ 的分离，$U\cap f(X),V\cap f(X)\ne \varnothing$，即 $U$ 和 $V$ 与 $f$ 的值域有重叠，故 $f^{-1}(U)$ 和 $f^{-1}(V)$ 非空；
2. 若 $x\in f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$，则 $f(x)\in U\cap V\cap f(X)=\varnothing$，矛盾，因此 $f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)=\varnothing$；
3. 由于 $f(X)\subseteq U\cup V$，$X\subseteq f^{-1}(U\cup V)=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$．

综上所述，$f^{-1}(U)$ 和 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 的分离，这与 $X$ 是连通集矛盾．

命题 29 设 $\{A_{\alpha }\}$ 是拓扑空间 $S$ 中的一族连通集，且具有公共点 $p$，则 ${\bigcup }_{\alpha }{A}_{\alpha }$ 是连通集．

证明 若 ${\bigcup }_{\alpha }{A}_{\alpha }$ 不连通，即存在 ${\bigcup }_{\alpha }{A}_{\alpha }$ 中非空的的不相交开集 $U, V \subseteq $ 使得 ${\bigcup }_{\alpha }{A}_{\alpha }=U\cup V$．点 $p\in {\bigcup }_{\alpha }{A}_{\alpha }$，其属于 $U$ 或 $V$，不妨设 $p\in U$．

对任意指标 $\alpha$，

$$A_{\alpha }=A_{\alpha }\cap (U\cup V)=(A_{\alpha }\cap U)\cup (A_{\alpha }\cap V),$$

因此 $A_{\alpha }$ 是其中两个不相交开集的并． 由于 $p\in A_{\alpha }\cap U$，$A_{\alpha }\cap U$ 非空，因此由 $A_{\alpha }$ 的连通性，$A_{\alpha }\cap V$ 为空集． 于是

$$V=\left(\bigcup _{\alpha }{A}_{\alpha }\right)\cap V=\bigcup _{\alpha }(A_{\alpha }\cap V)$$

是空集，矛盾．

连通分量

具有公共点的连通集之并是连通集，因此我们可以通过并运算得到最大的连通集．

定义 16 设 $S$ 是拓扑空间，$x\in S$．所有包含 $x$ 的连通集的并记作 $C_x$，称为 $S$ 中包含 $x$ 的一个连通分量（connected component）．

命题 30 设 $C_x$ 是拓扑空间 $S$ 的一个连通分量，则 $S$ 中的任意连通集 $A$，要么 $A\cap C_x=\varnothing$，要么 $A\subseteq C_x$．

证明 若 $A$ 与 $C_x$ 存在公共点 $p$，则 $A\cup C_x$ 是连通集，从而 $A\cup C_x\subseteq C_X$，即 $A\subseteq C_x$．

推论 31 设 $x,y$ 是拓扑空间 $S$ 中不同的两点，则连通分量 $C_x$ 和 $C_y$ 要么相等，要么不相交．

证明 若 $C_x$ 与 $C_y$ 相交，则它们相互包含，因此相等．

从上述命题中可以看出，全体连通分量构成对拓扑空间的划分．

对于同胚 $f:X\to Y$ 和任意 $A\subseteq X$，若 $A$ 具有 $n$ 个连通分量 $A_1,\dots ,A_n$，则 $f(A)$ 也有 $n$ 个连通分量． 对不同的 $i$ 和 $j$，$f(A_i)$ 和 $f(A_j)$ 都是连通集． 由于 $f$ 是双射，$f(A_i)\cap f(A_j)=\varnothing$，从而 $f(A_i)$ 和 $f(A_j)$ 分属于不同的连通分量． 综上所述，$f(A)$ 至少有 $n$ 个不同的连通分量 $f(A_1),\dots ,f(A_n)$． 又 $f(A)={\bigcup }_{i=1}^{n}f(A_i)$，故这是所有的连通分量．

连续映射能保持紧集和连通集，但连通分量的个数需要同胚才能保持． 此外，同胚既是开映射又是闭映射，这意味着在拓扑意义下，两个具有同胚的集合几乎可以视作同一类对象， 这就体现出我们更倾向于研究同胚而不只是连续映射的原因．

闭包

在导言中我们曾提过 ${\mathbb{R}}^n$ 中闭集的一种性质：对极限封闭．在几何上，这体现为闭集包含边界． 对于非闭集，我们可以考虑将极限值（边界）并入集合，形成一个闭集，构成闭包．

定义 17 设 $S$ 是拓扑空间，$A\subseteq S$． 我们称所有包含 $A$ 的闭集之交为 $A$ 的闭包（closure）， 记作 $\overline{A}$、$\mathrm{cl}(A)$ 或 ${\mathrm{cl}}_S(A)$．

$A$ 的闭包是所有包含 $A$ 的闭集中最小的闭集，但这无助于我们求解具体的闭包． 对任意点 $p\in S$，我们有贴近几何的方法来判断其是否属于 $A$ 的闭包．

命题 32（闭包的局部特征） 设 $A$ 是拓扑空间 $S$ 的子集． 对任意 $p\in S$，$p\in \mathrm{cl}(A)$ 当且仅当 $p$ 的任意邻域都与 $A$ 相交．

证明 我们从逆否命题证明：

$$p\notin \mathrm{cl}(A)⟺\text{存在 p 的邻域与 A 不相交}.$$

$(⟹)$ 若 $p\notin \mathrm{cl}(A)$，即

$$p\notin \bigcap \{\text{F 是 S 中的闭集}|F\supseteq A\},$$

亦即：对任意包含 $A$ 的闭集 $F$，$p\notin F$，即 $p\in S-F$． $S-F$ 是开集且与 $A$ 不相交，从而得证．

$(⟸)$ 假设存在 $p$ 的邻域 $U$ 与 $A$ 不相交，则 $F=S-U$ 是包含 $A$ 的一个闭集， 同时 $p\notin F$，因此 $p\notin \mathrm{cl}(A)$．

命题 33 集合 $A$ 是闭集当且仅当 $A=\mathrm{cl}(A)$．

证明 $(⟹)$ 若 $A$ 是闭集，则 $A$ 本身是包含 $A$ 的闭集，从而 $\mathrm{cl}(A)\subseteq A$． 又根据闭包的定义，$A\subseteq \mathrm{cl}(A)$，故 $A=\mathrm{cl}(A)$．

$(⟸)$ $A=\mathrm{cl}(A)$ 显然是闭集．

收敛性

与实数列类似，任意集合 $S$ 中都可以按顺序取一列元素 $x_1,x_2,\dots$，称为序列（sequence），记作 $(x_i)$．

定义 18 设 $(x_i)$ 是拓扑空间 $S$ 中的序列，$p\in S$． 若对 $p$ 的任意邻域 $U$，都存在相应的正整数 $N$ 使得当 $i\ge N$ 时 $x_i\in U$， 则称 $(x_i)$ 收敛到（converge）$p$，称 $p$ 是 $(x_i)$ 的极限（limit），记作

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=p.$$

一般拓扑空间中的极限未必唯一，但 Hausdorff 空间可以保证这一点．所以我们通常研究的拓扑空间都是 Hausdorff 空间．

命题 34 设 $S$ 是 Hausdorff 空间，$(x_i)$ 是其中的序列．若 $p$ 和 $q$ 都是序列 $(x_i)$ 的极限，则 $p=q$．

证明 如果 $p\ne q$，则存在不相交的邻域 $U\ni p$ 和 $V\ni q$． 根据极限的定义，存在正整数 $N$ 使得当 $i\ge N$ 时 $x_i\in U$， 存在正整数 $M$ 使得当 $i\ge M$ 时 $x_i\in V$， 因此当 $i\ge \max \{M,N\}$ 时 $x_i\in U\cap V$，与 $U$ 和 $V$ 不相交矛盾．

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，$p$ 是闭包 $\mathrm{cl}(A)$ 中的元素当且仅当 $p$ 能由 $A$ 中的序列逼近． 在一般拓扑空间中，我们需要附加一些条件．

命题 35 设 $S$ 是拓扑空间，$A\subseteq S$． 若 $A$ 中存在序列 $(x_i)$ 收敛到 $p$，则 $p\in \mathrm{cl}(A)$． 反之，若 $S$ 是第一可数空间，则对任意 $p\in \mathrm{cl}(A)$，存在 $A$ 中的某个序列收敛到 $p$．

证明 $(⟹)$ 设 $A$ 中的序列 $(x_i)$ 收敛到 $p$， 则对任意 $p$ 的邻域 $U$，存在正整数 $N$ 使得当 $i\ge N$ 时 $x_i\in U$． 换而言之，$U$ 与 $A$ 相交，于是 $p$ 是 $A$ 闭包中的元素．

$(⟸)$ 设 $S$ 是第一可数空间，$p$ 是 $A$ 闭包中的元素． 不妨令 $\{U_n\}$ 是 $p$ 的单调递减的邻域基． 由闭包的局部特征，每个 $U_i$ 都与 $A$ 相交，因此可取 $a_i\in A\cap U_i$． 下面证明 $(a_i)$ 收敛到 $p$．

对任意 $p$ 的邻域 $U$，由邻域基的定义，存在 $U_N$ 使得 $p\in U_N\subseteq U$． 对任意 $i\ge N$ 有 $U_i\subseteq U_N\subseteq U$，因此 $a_i\in U_i\subseteq U$． 于是 $a_i$ 收敛到 $p$．