范畴简介

范畴是一种大框架，它能够用统一的结构描述许多截然不同的数学概念，但也因此牺牲了很多可读性，往往显得非常抽象．本节简要介绍范畴，并给出各种例子以帮助理解范畴这一概念．

范畴的定义

除了集合论这一基础领域，多数领域都采用朴素集合论（也就是我们在高中数学中所学习的集合论），此时我们无法对“集合”这一对象本身给出严格定义．罗素悖论指出朴素集合论存在缺陷，其直接推论是：不存在包含所有集合的集合．

范畴这一概念比集合还要基础，其中我们不可避免地涉及“全体集合”这样的描述．对于这种比集合更大的结构，我们称之为类（class）．类并不能直接应用集合运算，不过好在我们也不需要这么做．由于我们采用朴素集合论，范畴这一概念也无法给出严格的定义，但这已经足够让我们应用范畴．如果一时无法理解范畴的定义，可以先看看后面的例子 ，然后回过来再次审视范畴的定义．

定义 1 一个范畴（category）$\mathsf{C}$ 包括：

• 一类对象 $\mathrm{Obj}(\mathsf{C})$；
• 对任意 $\mathsf{C}$ 的对象 $A$ 与 $B$ 都有一个集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,B)$，其元素称为态射（morphism）．

态射满足以下性质：

• 对任意 $\mathsf{C}$ 的对象 $A$，存在一个特殊的单位态射（identity）$1_A\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,A)$．
• 态射间有复合运算：对任意 $\mathsf{C}$ 的对象 $A$、$B$ 与 $C$，有集合间的映射

  $$\begin{array}{c}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,B)\times {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(B,C)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,C),\\ (f,g)\mapsto gf.\end{array}$$

• 复合运算具有结合律：对任意 $\mathsf{C}$ 的对象 $A$、$B$、$C$ 与 $D$ 以及态射

  $$f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,B),g\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(B,C),h\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(C,D),$$

  我们都有

  $$(hg)f=h(gf).$$

• 单位态射是复合运算的单位元：对任意 $\mathsf{C}$ 的对象 $A$、$B$ 以及态射 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,B)$，我们都有

  $$f{1}_A=f,1_{B}f=f.$$

对于任意 $\mathsf{C}$ 的对象 $A$，$A$ 到其自身的态射——即 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,A)$ 中的态射——称为 $A$ 上的一个自同态（endomorphism）．我们记 ${\mathrm{End}}_{\mathsf{C}}(A):={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,A)$．

由于总是书写 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,B)$ 显得非常繁琐，当我们能根据上下文自然推断范畴 $\mathsf{C}$ 时，可以省略下标写作 $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$，或改写为 $f:A\to B$．

例 1 我们可如下定义范畴 $\mathsf{Set}$：

• $\mathrm{Obj}(\mathsf{Set})$ 为全体集合构成的类；
• 对任意集合 $A$ 与 $B$，令 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Set}}(A,B)$ 为全体从 $A$ 到 $B$ 的函数构成的集合．${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Set}}(A,B)$ 在集合论中也通常记作 $B^A$．

定义 $\mathsf{Set}$ 上态射的复合运算为函数的复合，则其自然具有结合律，且对任意集合 $A$，恒等函数 $1_A$ 就是单位态射．

集合构成的范畴并没有统一的记号，只是在本文中采用 $\mathsf{Set}$．阅读文献时应当按照其约定理解．

我们可以用图（diagram）来描述态射．当存在态射 $f:A\to B$ 时，我们可以写作 $A\stackrel{f}{\to }B$．当同时存在态射

$$f:A\to B,g:B\to C,h:A\to C$$

时，我们可以将其放置在同一张图中：

如果 $h=gf$，则称这张图是交换的（commutative）．一般地，对于一张（态射构成的）图以及其中具有相同起点与终点的所有路径，如果每条路径上的态射复合之后均得到相同的态射，则称这样图是交换的．更准确地说，如果对图中任意两条起点为 $X$、终点为 $Y$ 的路径

$$\begin{array}{c}X\stackrel{f_1}{\to }{A}_1\stackrel{f_2}{\to }{A}_2\stackrel{f_3}{\to }\cdots \stackrel{f_m}{\to }Y,\\ X\stackrel{g_1}{\to }{B}_1\stackrel{g_2}{\to }{B}_2\stackrel{f_3}{\to }\cdots \stackrel{g_n}{\to }Y\end{array}$$

都有

$$f_m{f}_{m-1}\cdots f_2{f}_1=g_n{g}_{n-1}\cdots g_2{g}_1,$$

则称图是交换的．

例 2 这个例子将展示如何用范畴建模等价关系以及偏序关系．

设 $S$ 是任意集合，$\sim$ 为 $S$ 上的二元关系，具有自反性与传递性，即：

• 对任意 $s\in S$ 都有 $s\sim s$；
• 对任意 $s,t,u\in S$，若 $s\sim t$ 且 $t\sim u$，则 $s\sim u$．

我们如下定义一个范畴：

• 对象：全体 $S$ 中的元素；
• 态射：对任意 $s,t\in S$，定义

  $$\mathrm{Hom}(s,t):=\{\begin{array}{ll}\{(s,t)\},& s\sim t,\\ \varnothing ,& s\nsim t.\end{array}$$

对任意态射 $(s,t)\in \mathrm{Hom}(s,t)$ 和 $(t,u)\in \mathrm{Hom}(t,u)$（如果存在），定义复合运算为

$$(t,u)(s,t):=(s,u).$$

由于态射集不是单元素集就是空集，对任意态射 $(s,t)$ 我们不再（也无需）指出其所属的态射集．

由于 $\sim$ 具有自反性，对任意 $s\in S$ 都存在态射 $(s,s)$，这只能是单位态射 $1_s$．

由于 $\sim$ 具有传递性，对任意态射 $(s,t)$ 和 $(t,u)$，我们有 $s\sim t$ 以及 $t\sim u$，因此 $s\sim u$，即存在态射 $(s,u)$，从而保证复合运算是良定义的．复合运算的结合性是显然的：

通过额外对 $\sim$ 附加对称性或反对称性，我们就能够用上述范畴建模等价关系或偏序．

特别地，考虑整数集 $\mathbb{Z}$ 及其上的小于或等于关系 $\le$．对任意整数 $a,b\in \mathbb{Z}$，存在态射 $(a,b)$ 当且仅当 $a\le b$．由于非空态射集的元素是唯一的，我们将图 $a\stackrel{(a,b)}{\to }b$ 简写为 $a\to b$．换言之，$a\le b$ 当且仅当存在态射 $a\to b$．以下是该范畴上的交换图的例子．

显然图中的箭头可用于描述 $\le$．

$S$ 的全体子集间的包含关系 $\subseteq$ 也是偏序，因此也可以用这种范畴描述．

我们还可以定义更复杂的范畴，例如将已有范畴的态射当作新范畴的对象，建立态射上的态射．

例 3 设 $\mathsf{C}$ 是一个范畴，$A$ 是其中的任意一个对象．我们如下定义范畴 ${\mathsf{C}}_A$：

• $\mathrm{Obj}({\mathsf{C}}_A)$ 由 $\mathsf{C}$ 中全体到 $A$ 的态射构成，即

  $$\mathrm{Obj}({\mathsf{C}}_A):=\{f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(Z,A)|Z\in \mathrm{Obj}(\mathsf{C})\}.$$

  这些对象可以等价地视作图

  

• 对任意 ${\mathsf{C}}_A$ 中的对象 $f_1$ 和 $f_2$，其可视作 $\mathsf{C}$ 中的图

  

  ${\mathsf{C}}_A$ 中的态射 $\sigma \in {\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{C}}_A}(f_1,f_2)$ 则定义为 $\mathsf{C}$ 中的一个态射 $\sigma :Z_1\to Z_2$，其满足 $f_1=f_2\sigma$．这一态射可等价地视作 $\mathsf{C}$ 中的交换图

  

  态射的复合运算继承自 $\mathsf{C}$ 的复合运算．

换言之，${\mathsf{C}}_A$ 用于描述原范畴 $\mathsf{C}$ 中均以 $A$ 为终点的态射的联系．

下面我们验证 ${\mathsf{C}}_A$ 确实是一个范畴．我们默认形如 $f:Z\to A$ 的态射是 $\mathsf{C}$ 中的态射．

对任意 $f:Z\to A$ 显然有以下交换图

因此 $1_Z$ 是 $\mathsf{C}$ 中 $f$ 上的单位态射（其性质均继承自 $\mathsf{C}$）．

对任意 $f_1:Z_1\to A$ 和 $f_2:Z_2\to A$，设有下图所确定的两个 ${\mathsf{C}}_A$ 中的态射 $\sigma$ 与 $\tau$：

其中 $f_1=f_2\sigma$ 且 $f_2=f_3\tau$．于是

$$f_1=(f_3\tau )\sigma =f_3(\tau \sigma ),$$

从而有以下交换图：

这确保了 $\tau \sigma$ 依然是 ${\mathsf{C}}_A$ 中的对象，即保证了复合运算是良定义的．${\mathsf{C}}_A$ 中态射复合的结合性继承自 $\mathsf{C}$．

由于 ${\mathsf{C}}_A$ 限制了所有态射均以 $A$ 为终点，这就像是在原来的图中剪切出所有指向 $A$ 的态射一样，因此 ${\mathsf{C}}_A$ 称为 $\mathsf{C}$ 的切片范畴（slice category）．

考虑 $\mathbb{Z}$ 上的偏序 $\le$ 所确定的范畴，若我们选择 $3\in \mathbb{Z}$ 作切片范畴，则从交换图上看是选择出所有指向 $3$ 的态射．在代数上看，对任意原范畴中的态射 $(m,3)$ 和 $(n,3)$，存在切片范畴中的态射

$$(m,3)\to (n,3)$$

当且仅当 $m\le n$．而态射 $(m,3)$ 与 $(n,3)$ 又表明 $m\le 3$ 且 $n\le 3$．若将 $(m,3)$ 与 $m$ 等同起来，这个切片范畴实际上就是描述了 ${\mathbb{Z}}_{\le 3}$ 上的偏序 $\le$．

例 4 类似地，给定范畴 $\mathsf{C}$ 及其对象 $A$，我们可以选择固定起点切出一个范畴 ${\mathsf{C}}^A$，称之为余切片范畴（coslice category）．由于其构造只需逆转 ${\mathsf{C}}_A$ 中指向 $A$ 的箭头，这里不再赘述．

例 5 给定范畴 $\mathsf{C}$ 及其两个对象 $A$ 与 $B$，我们可以用类似切片范畴的方式定义一个范畴 ${\mathsf{C}}_{A,B}$，只不过此时的新对象由两个态射构成．

• $\mathrm{Obj}({\mathsf{C}}_{A,B})$ 由全体形如 $(f,g)$ 的有序对构成，其中 $f:Z\to A$ 且 $g:Z\to B$，$Z\in \mathrm{Obj}(\mathsf{C})$．这可以等价地视作以下图

  

• 下图的两个对象 $(f_1,g_1)$ 和 $(f_2,g_2)$ 之间的态射

  

  定义为 $\mathsf{C}$ 中使下图交换的的态射 $\sigma :Z_1\to Z_2$：

  

  换言之 $f_1=f_2\sigma$ 且 $g_1=g_2\sigma$．态射的复合继承自 $\mathsf{C}$ 的态射复合．

显然对任意对象 $(f,g)$ $(f:Z\to A,g:Z\to B)$ 而言，$1_Z$ 是其上的单位态射，如下图所示：

给定对象 $(f_1,g_1)$、$(f_2,g_2)$ 和 $(f_3,g_3)$，其中

$$\begin{array}{rlrl}{f}_1& :Z_1\to A,& g_1& :Z_1\to B,\\ f_2& :Z_2\to A,& g_2& :Z_2\to B,\\ f_3& :Z_3\to A,& g_3& :Z_3\to B,\end{array}$$

再给定 ${\mathsf{C}}_{A,B}$ 中的态射 $\sigma :(f_1,g_1)\to (f_2,g_2)$ 和 $\tau :(f_2,g_2)\to (f_3,g_3)$，我们有以下交换图：

从而保证 $\tau \sigma$ 也是 ${\mathsf{C}}_{A,B}$ 中的态射．

例 6 给定范畴 $\mathsf{C}$ 及其上的两个对象 $A$ 与 $B$，我们也可以类似地将所有形如 $f:A\to Z$ 和 $g:A\to Z$ 的态射构成的有序对 $(f,g)$ 作为新对象构建范畴 ${\mathsf{C}}^{A,B}$．由于这个范畴只需要逆转所有的箭头，我们在此略去对其的讨论．

例 7 给定范畴 $\mathsf{C}$ 及其上的三个对象 $A$、$B$、$C$ 和两个态射 $\alpha :A\to C$ 和 $\beta :B\to C$，我们如下定义范畴 ${\mathsf{C}}_{\alpha ,\beta }$：

• $\mathrm{Obj}({\mathsf{C}}_{\alpha ,\beta })$ 为形如 $(f,g)$ 的有序对，其中

  $$\begin{array}{rl}f& :Z\to A,\\ g& :Z\to B,\end{array}Z\in \mathrm{Obj}(\mathsf{C}).$$

  这可以等价地视作以下交换图：

  

• 对象之间的态射定义为使得下图交换的态射 $\sigma :Z_1\to Z_2$（我们不再赘述所有对象的严格定义）：

  

  复合运算继承自 $\mathsf{C}$．

范畴 ${\mathsf{C}}_{\alpha ,\beta }$ 的分析与 ${\mathsf{C}}_{A,B}$ 几乎一致，只不过在交换图的最后测加了上了 $\alpha$、$\beta$ 与 $C$，因此我们不再赘述．

反转所有箭头方向后我们也可以构建范畴 ${\mathsf{C}}^{\alpha ,\beta }$．

态射

函数

全体集合构成的范畴 $\mathsf{Set}$ 上的态射就是函数（也称映射）．对于函数而言，我们有以下经典定义．

定义 2 设 $A$ 和 $B$ 为集合，$f:A\to B$ 为函数．

• 若对任意 $a^{\prime },a^{\prime \prime }\in A$ 都有

  $$a^{\prime }\ne a^{\prime \prime }⟹f(a^{\prime })\ne f(a^{\prime \prime }),$$

  则称 $f$ 是单射（injection），并记 $f:A\hookrightarrow B$．
• 若对任意 $b\in B$ 都存在 $a\in A$ 使得 $b=f(a)$，则称 $f$ 是满射（surjection），并记 $f:A\twoheadrightarrow B$．函数 $f$ 是满射当且仅当 $f$ 的值域 $\mathrm{im}(f)=B$．
• 若 $f$ 既是单射又是满射，则称 $f$ 是双射（bijection），并记 $f:A\stackrel{\sim }{\to }B$．

若集合 $A$ 与 $B$ 之间存在双射，则称 $A$ 与 $B$ 是同构的（isomorphic），并记 $A\cong B$．

$\mathsf{Set}$ 中的恒等态射 $1_A$ 就是恒等函数 ${\mathrm{id}}_A:A\to A$，$a\mapsto a$．

这些定义非常符合直觉，但从范畴论的视角来看存在一定缺陷：我们需要使用集合中的元素来定义单射与满射，但对于一般的范畴而言我们只能处理对象（在这里是集合本身，而不包括其中的元素）与态射（在这里是函数）．幸运的是，我们能够只使用函数来描述单射与双射，并在其中避免涉及集合元素．

对任意函数 $f:A\to B$ 与 $g:B\to A$：

• 若

  $$g\circ f={\mathrm{id}}_A,$$

  则称 $g$ 是 $f$ 的一个左逆（left-inverse）．
• 若

  $$f\circ g={\mathrm{id}}_B,$$

  则称 $g$ 是 $f$ 的一个右逆（right-inverse）．

命题 1 设有集合 $A\ne \varnothing$ 与集合$B$，$f:A\to B$ 为函数，则

1. $f$ 具有左逆当且仅当它是单射；
2. $f$ 具有右逆当且仅当它是双射．

证明 首先证明 1．

$(⟹)$ 若 $f:A\to B$ 有左逆 $g:B\to A$，则 $g\circ f={\mathrm{id}}_A$．对任意 $a^{\prime },a^{\prime \prime }\in A$ 且 $a^{\prime }\ne a^{\prime \prime }$，我们有

$$g(f(a^{\prime }))={\mathrm{id}}_A(a^{\prime })=a^{\prime }\ne a^{\prime \prime }={\mathrm{id}}_A(a^{\prime \prime })=g(f(a^{\prime \prime })),$$

也就是说 $g$ 分别将 $f(a^{\prime })$ 与 $f(a^{\prime \prime })$ 映射到不同的值，这就必须要求 $f(a^{\prime })\ne f(a^{\prime \prime })$．于是 $f$ 是单射．

$(⟸)$ 若 $f:A\to B$ 是单射，由于 $A\ne \varnothing$，我们可取某个 $a_0\in A$．定义 $g:B\to A$ 为

$$g(b):=\{\begin{array}{ll}a,& \text{存在某个 a∈A 使得 b=f(a)},\\ a_0,& b\notin \mathrm{im}(f).\end{array}$$

这里使得 $b=f(a)$ 的 $a$（若存在）是唯一的，这由 $f$ 是单射保证，因此 $g$ 是良定义的函数．此时对任意 $a\in A$ 有

$$g(f(a))=a,$$

因此 $g\circ f={\mathrm{id}}_A$，即 $g$ 是 $f$ 的左逆．

下面证明 2．

$(⟹)$ 设 $f:A\to B$ 有右逆 $g:B\to A$，则 $f\circ g={\mathrm{id}}_B$．对任意 $b\in B$ 我们有

$$b={\mathrm{id}}_B(b)=f(g(b)),$$

因此存在 $a:=g(b)$ 使得 $b=f(a)$．由于 $b$ 是任意的，$f$ 是满射．

$(⟸)$ 设 $f:A\to B$ 是满射，则对任意 $b\in B$，存在一个相应的 $a_b\in A$ 使得 $b=f(a_b)$（这一步使用选择公理）．定义 $g:B\to A$ 为 $b\mapsto a_b$，则

$$f(g(b))=f(a_b)=b,$$

因此 $f\circ g={\mathrm{id}}_B$，即 $g$ 是 $f$ 的右逆．

推论 2 函数 $f:A\to B$ 是双射当且仅当其同时存在左逆与右逆，此时左逆与右逆相等．

证明 根据前一命题，$f$ 是双射当且仅当其同时存在左逆 $g:B\to A$ 和右逆 $g^{\prime }:B\to A$．此时

$$g=g\circ {\mathrm{id}}_A=g\circ (f\circ g^{\prime })=(g\circ f)\circ g^{\prime }={\mathrm{id}}_A\circ g^{\prime }=g^{\prime },$$

即左逆与右逆相等．

同构

定义 3 设 $\mathsf{C}$ 是范畴，$A$ 与 $B$ 为其对象．对任意 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,B)$，若存在态射同时为其左逆和右逆，即存在 $g\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(B,A)$ 使得

$$gf=1_A,fg=1_B,$$

则称 $f$ 是一个同构（isomorphic），此时 $g$ 称为 $f$ 的逆（inverse）．

若对象 $A$ 与 $B$ 之间存在同构，则称 $A$ 与 $B$ 是同构的（isomorphic），并记 $A\cong B$．

显然 $\mathsf{Set}$ 中的同构就是双射．与双射完全一致，我们可以证明：若 $f$ 同时存在左逆和右逆，则左逆等于右逆，且：

命题 3 同构的逆是唯一的．

因此，任意同构 $f$ 的逆可以记作 $f^{-1}$．

命题 4 设 $\mathsf{C}$ 是范畴，$A$、$B$ 和 $C$ 为其上的任意对象．

• 每个单位态射 $1_A$ 都是同构，且其逆位其自身．
• 若 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,B)$ 是同构，则 $f^{-1}$ 也是同构，且 $(f^{-1}{)}^{-1}=f$．
• 若 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,B)$ 与 $g\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(B,C)$ 都是同构，则 $gf$ 也是同构，且 $(gf{)}^{-1}=f^{-1}{g}^{-1}$．

证明 这些性质都是不言自明的．例如，为了验证 $(gf{)}^{-1}=f^{-1}{g}^{-1}$，我们有

$$(f^{-1}{g}^{-1})(gf)=f^{-1}((g^{-1}g)f)=f^{-1}(1_{B}f)=f^{-1}f=1_A,$$

即 $f^{-1}{g}^{-1}$ 是 $gf$ 的左逆．右逆同理可证．

例 8 单位态射必是同构，它们也可能是范畴中唯一的一类态射．

考虑 $\mathbb{Z}$ 连同其上的偏序 $\le$ 所确定的范畴，其态射形如 $(a,b)$，其中 $a\le b$．若 $(a,b)$ 是同构，则存在左逆 $(b,c)$ 使得 $(b,c)(a,b)=(a,a)$，这就要求 $a=c$．这进一步要求范畴中确实存在态射 $(b,a)$，也就是 $b\le a$．结合 $a\le b$，我们得到 $a=b$．因此该范畴中的同构全都具有性质 $(a,a)$，也就是单位态射 $1_a$．

例 9 也有可能范畴中的所有态射都是同构．这类范畴称为广群（groupoid）．

对任意集合 $S$，设 $\sim$ 为其上的等价关系．考虑由 $\sim$ 所确定的范畴，其态射形如 $(a,b)$，其中 $a\sim b$．根据等价关系的对称性，我们有 $b\sim a$，即存在态射 $(b,a)$．显然

$$(b,a)(a,b)=(a,a)=1_a,(a,b)(b,a)=(b,b)=1_b,$$

因此 $(b,a)$ 是 $(a,b)$ 的逆，从而说明所有态射 $(a,b)$ 都是同构．

设 $\mathsf{C}$ 是范畴，$A$ 是其对象．从 $A$ 到其自身的态射称为 $A$ 上的一个自同构（automorphism）．全体 $A$ 上的自同构所构成的态射集记作 ${\mathrm{Aut}}_{\mathsf{C}}(A)$．我们稍后就会知道自同构集是一个群．

单同态与满同态

在 $\mathsf{Set}$ 中，单射性与满射可以通过左逆和右逆在函数层面定义，避免涉及集合元素．事实上我们有（看上去）更宽松的条件可以描述这些性质，而这也是一般范畴论中所采用的定义．

定义 4 设 $\mathsf{C}$ 是范畴，$A$ 与 $B$ 是其对象，$f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,B)$．

若 $f$ 满足左消去律，即对任意 $\mathsf{C}$ 的对象 $Z$ 以及任意态射 ${\alpha }^{\prime },{\alpha }^{\prime \prime }\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(Z,A)$ 都有

$$f{\alpha }^{\prime }=f{\alpha }^{\prime \prime }⟹{\alpha }^{\prime }={\alpha }^{\prime \prime },$$

则称 $f$ 是一个单同态（monomorphism）．

若 $f$ 满足右消去律，即对任意 $\mathsf{C}$ 的对象 $Z$ 以及任意态射 ${\beta }^{\prime },{\beta }^{\prime \prime }\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(B,Z)$ 都有

$${\beta }^{\prime }f={\beta }^{\prime \prime }f⟹{\beta }^{\prime }={\beta }^{\prime \prime },$$

则称 $f$ 是一个满同态（epimorphism）．

命题 5 在范畴 $\mathsf{Set}$ 中，函数 $f:A\to B$ 是单射当且仅当它是单同态．

证明 $A=\varnothing$ 时命题平凡成立，因此下设 $A\ne \varnothing$．

$(⟹)$ 设 $f:A\to B$ 是单射，则存在其左逆 $g:B\to A$．对任意 ${\alpha }^{\prime },{\alpha }^{\prime \prime }:Z\to A$，若 $f\circ {\alpha }^{\prime }=f\circ {\alpha }^{\prime \prime }$，则

$$(g\circ f)\circ {\alpha }^{\prime }=g\circ (f\circ {\alpha }^{\prime })=g\circ (f\circ {\alpha }^{\prime \prime })=(g\circ f)\circ {\alpha }^{\prime \prime }.$$

由于 $g\circ f={\mathrm{id}}_A$，我们得到 ${\alpha }^{\prime }={\alpha }^{\prime \prime }$，故 $f$ 是单同态．

$(⟸)$ 设 $f:A\to B$ 是单同态．任取单元素集合 $Z:=\{p\}$，则形如 ${\alpha }^{\prime },{\alpha }^{\prime \prime }:Z\to A$ 的函数唯一确定一对元素 $a_1:={\alpha }^{\prime }(p)\in A$ 和 $a_2:={\alpha }^{\prime \prime }(p)\in A$．此时 $f$ 为单同态的定义可以改写为

$$f(a_1)=f(a_2)⟹a_1=a_2.$$

由于 ${\alpha }^{\prime },{\alpha }^{\prime \prime }$ 是任意的，即 $a_1,a_2$ 是任意的，我们即证明了 $f$ 是单射．

命题 6 在范畴 $\mathsf{Set}$ 中，函数 $f:A\to B$ 是满射当且仅当它是满同态．

证明 若 $A=\varnothing$，则当 $f$ 是满射时只能有 $B=\varnothing$，此时 $f$ 为满同态是平凡的．反之亦然．因此下设 $A\ne \varnothing$．

$(⟹)$ 设 $f$ 是满射，则其存在右逆 $g:B\to A$．对任意 ${\beta }^{\prime },{\beta }^{\prime \prime }:B\to Z$，当 ${\beta }^{\prime }\circ f={\beta }^{\prime \prime }\circ f$ 时，

$${\beta }^{\prime }\circ (f\circ g)=({\beta }^{\prime }\circ f)\circ g=({\beta }^{\prime \prime }\circ f)\circ g={\beta }^{\prime \prime }\circ (f\circ g).$$

由于 $f\circ g={\mathrm{id}}_B$，我们得到 ${\beta }^{\prime }={\beta }^{\prime \prime }$，故 $f$ 是满同态．

$(⟸)$ 设 $f$ 是满同态．任取 $a_0\in A$．反设 $f$ 不是满射，即 $\mathrm{im}(f)\ne B$，则可取 $b_0\in B$ 使得 $b_0\notin \mathrm{im}(f)$．令 ${\beta }^{\prime }:={\mathrm{id}}_B$，定义 ${\beta }^{\prime \prime }:B\to B$ 为

$${\beta }^{\prime \prime }(b):=\{\begin{array}{ll}b,& b\in \mathrm{im}(f),\\ f(a_0),& b\notin \mathrm{im}(f),\end{array}$$

则对任意 $b\in B$ 都有

$${\beta }^{\prime }(f(b))=f(b)={\beta }^{\prime \prime }(f(b)),$$

即 ${\beta }^{\prime }\circ f={\beta }^{\prime \prime }\circ f$，进而 ${\beta }^{\prime }={\beta }^{\prime \prime }$．此时

$$b_0={\alpha }^{\prime }(b_0)={\alpha }^{\prime \prime }(b_0)=f(a_0)\in \mathrm{im}(f),$$

与 $b_0\notin \mathrm{im}(f)$ 矛盾．因此 $f$ 是满射．

例 10 在一般范畴中，与 $\mathsf{Set}$ 中的单射、满射和双射之间的关系不同，同时为单同态和满同态的态射未必是同构．

考虑 $\mathbb{Z}$ 连同其上的偏序 $\le$ 所确定的范畴，我们已经知道其中的所有同构都是单位态射．

该范畴中的任意态射 $(a,b)$ 都是单同态与满同态．对任意态射 $(z^{\prime },a)$ 和 $(z^{\prime \prime },a)$，若

$$(a,b)(z^{\prime },a)=(a,b)(z^{\prime \prime },a),$$

则 $(z^{\prime },b)=(z^{\prime \prime },b)$，这就要求 $z^{\prime }=z^{\prime \prime }$，因此 $(z^{\prime },a)=(z^{\prime \prime },a)$，从而说明 $(a,b)$ 是单同态．满同态类似可证．然而，当 $a<b$ 时 $(a,b)$ 不是同构．

这个例子也说明了范畴中的所有态射可能都是单同态（或满同态）．

泛性质

我们已经知道范畴能够建模很多数学概念，但问题是我们为什么要以这么抽象的方式看待问题？泛性质用于解答这一疑问：从范畴的视角可以发现一些具有特殊性质的对象．

始对象与终对象

定义 5 设 $\mathsf{C}$ 是一个范畴．

设 $I$ 是 $\mathsf{C}$ 中的对象．若对任意对象 $A\in \mathrm{Obj}(\mathsf{C})$ 而言，${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(I,A)$ 都是单元素集（即形如 $I\to A$ 的态射唯一），则称 $I$ 是 $\mathsf{C}$ 中的一个始对象（initial object）．

设 $F$ 是 $\mathsf{C}$ 中的对象．若对任意对象 $A\in \mathrm{Obj}(\mathsf{C})$ 而言，${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,F)$ 都是单元素集（即形如 $A\to F$ 的态射唯一），则称 $F$ 是 $\mathsf{C}$ 中的一个终对象（final object）．

始对象与终对象统称为端对象（terminal object）．

范畴中未必存在始对象或终对象．

例 11 考虑 $\mathbb{Z}$ 连同其上的偏序 $\le$ 所确定的范畴．若 $i\in \mathbb{Z}$ 是始对象，则对任意 $a\in \mathbb{Z}$ 而言都存在态射 $(i,a)$，即 $i\le a$，但这是不可能的．类似地这个范畴也不存在终对象．

例 12 在范畴 $\mathsf{Set}$ 中，空集 $\varnothing$ 是始对象，因为形如 $\varnothing \to A$ 的函数只能是空映射 $\varnothing$．任意单元素集合 $\{\ast \}$ 都是终对象，因为形如 $A\to \{\ast \}$ 的函数只能是常值函数 $a\mapsto \ast$．

如果范畴中存在端对象，则态射的唯一性突出了其具有某种特殊性质，从而引导我们从这个端对象中提取新的有用信息，定义新的概念．我们还可以证明端对象在同构的意义下是唯一的，从而更突出其特殊性，也保证定义的唯一性（在同构意义下）．

命题 7 设 $\mathsf{C}$ 是一个范畴．

• 若 $I_1$ 和 $I_2$ 都是 $\mathsf{C}$ 中的始对象，则 $I_1\cong I_2$．
• 若 $F_1$ 和 $F_2$ 都是 $\mathsf{C}$ 中的终对象，则 $F_1\cong F_2$．

此外，上述命题中的同构都是唯一的．

证明 设 $I_1$ 和 $I_2$ 都是 $\mathsf{C}$ 中的始对象，则唯一存在一对态射 $f:I_1\to I_2$ 和 $g:I_2\to I_1$，于是 $gf:I_1\to I_1$．由于 $1_{I_1}\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(I_1,I_1)$，且这个态射集是单元素集，我们有 $gf=1_{I_1}$，因此 $g$ 是 $f$ 的左逆．类似地，由于 $fg:I_2\to I_2$，我们有 $fg=1_{I_2}$，因此 $g$ 也是 $f$ 的右逆．综上所述，$g$ 是 $f$ 的逆，即 $f$ 是同构，$I_1\cong I_2$．$g$ 的唯一性由 $I_2$ 为始对象确保．

终对象相关的命题同理可证．

泛性质

如果某种构造能够视作端对象，我们就成这个构造具有泛性质（universal property）．我们在描述问题时往往并不会明确指出其背后的范畴，因为这样太繁琐了．此时描述始对象和终对象的自然语言也可能与上述风格大相径庭．作为一个简单例子，我们可以说“$\varnothing$ 在集合间的映射中具有泛性质”，因为 $\varnothing$ 在 $\mathsf{Set}$ 中是始对象．

一般地，泛性质可以用以下句式描述：对象 $X$ 相对于以下性质具有泛性质：对任意满足……（某种性质）的 $Y$ 都存在唯一的态射 $Y\to X$ 满足……（某种性质），只不过冒号后面的描述内容有可能被移到前面，代替“以下性质”这一部分．这种描述隐藏了别后所涉及的范畴，因此需要读者自己推测．

商集

设 $A$ 是任意集合，$\sim$ 是其上任意一个等价关系．对任意 $a\in A$，其等价类为

$$[a{]}_{\sim }:=\{b\in A|a\sim b\}.$$

全体等价类构成的集合称为 $\sim$ 所确定的商集（quotient set），记作

$$A/\sim :=\{[a{]}_{\sim }|a\in A\}.$$

典范投影（canonical projection）${\pi }_{\sim }:A\to A/\sim$ 定义为

$${\pi }_{\sim }(a):=[a{]}_{\sim }.$$

显然 ${\pi }_{\sim }$ 是满射．

对任意函数 $f:A\to B$ 而言，它都可以导出一个 $A$ 上的等价关系 $\sim$：当 $f(a^{\prime })=f(a^{\prime \prime })$ 时，定义 $a^{\prime }\sim a^{\prime \prime }$．此时我们可以导出一个函数 $\tilde{f}:A/\sim \to \mathrm{im}(f)$：

$$\tilde{f}([a{]}_{\sim })=f(a),$$

这是因为所有相互等价的元素都有相同的函数值．显然 $\tilde{f}$ 是单射，从而是双射．

定理 8 设 $f:A\to B$ 是任意函数，$\sim$ 为按照上述方式导出的等价关系，$\tilde{f}$ 为按照上述方式导出的函数，则下图交换：

其中 $i:\mathrm{im}(f)\to B$ 是包含映射 $b\mapsto b$．

分解式 $f=i\circ \tilde{f}\circ {\pi }_{\sim }$ 称为 $f$ 的典范分解（canonical decomposition）．

现在我们给出一个与典范分解相关的泛性质：

• 商集 $A/\sim$ 相对于具有以下性质的映射具有泛性质：将 $A$ 映射到一个集合，且等价的元素具有相同的像．

我们来细细分析这句话．我们考虑形如 $\phi :A\to Z$ 的函数，其具有性质

$$a^{\prime }\sim a^{\prime \prime }⟹\phi (a^{\prime })=\phi (a^{\prime \prime }).$$

我们将这些函数作为范畴中的对象．对于 ${\phi }_1:A\to Z_1$ 和 ${\phi }_2:A\to Z_2$，定义其间的态射是使得下图交换的 $\sigma :Z_1\to Z_2$，也就是 ${\phi }_2=\sigma {\phi }_1$：

命题 9 典范投影 ${\pi }_{\sim }:A\to A/\sim$ 在上述范畴中是始对象．

证明 我们需要证明：对任意集合 $Z$ 以及函数 $\phi :A\to Z$，都存在唯一的函数 $\overline{\phi }:A/\sim \to A$ 使得下图交换：

事实上，若 $\overline{\phi }$ 存在，则对任意 $a\in A$ 都有

$$\phi (a)=\overline{\phi }({\pi }_{\sim }(a))=\overline{\phi }([a{]}_{\sim }),$$

这就唯一确定了 $\overline{\phi }$ 在所有等价类上的值，而我们之前已经证明如此定义的 $\overline{\phi }$ 是存在的，他就是典范分解的一部分．

在上述描述中，我们的始对象其实是 ${\pi }_{\sim }:A\to A/\sim$，但描述中却称与其相关的另一对象 $A/\sim$ 具有泛性质．这只是一种语言习惯，因为一般来说没必要完整地描述范畴，往往只要在某种交换图中能够建立某种唯一性，就可以称相关对象具有泛性质．

积

作为泛性质的应用，我们考察切片范畴 ${\mathsf{C}}_{A,B}$ 上的端对象．

首先考虑范畴 $\mathsf{Set}$．对任意两个集合 $A$ 与 $B$，我们有笛卡尔积

$$A\times B:=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$$

以及两个投影

$$\begin{array}{rlr}{\pi }_A& :A\times B\to A,& (a,b)\mapsto a,\\ {\pi }_B& :A\times B\to B,& (a,b)\mapsto b.\end{array}$$

命题 10 有序对 $({\pi }_A,{\pi }_B)$ 是切片范畴 ${\mathsf{Set}}_{A,B}$ 中的终对象．

更具体地说，给定集合 $A$ 与 $B$，对任意集合 $Z$ 与函数 $f_A:Z\to A$、$f_B:Z\to B$，唯一存在函数 $\sigma :Z\to A\times B$ 使得下图交换：

如果读者未能将上述描述联系为终对象，只需注意这里对任意对象 $(f_A,f_B)\in \mathrm{Obj}({\mathsf{Set}}_{A,B})$ 而言，态射集 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Set}}_{A,B}}((f_A,f_B),({\pi }_A,{\pi }_B))$ 是单元素集．

证明 如果 $\sigma :Z\to A\times B$ 存在，则对任意 $z\in Z$，设 $\sigma (z)=:(z_A,z_B)$，我们有

$$\begin{array}{rl}{f}_A(z)& ={\pi }_A(\sigma (z))={\pi }_A(z_A,z_B)=z_A,\\ f_B(z)& ={\pi }_B(\sigma (z))={\pi }_B(z_A,z_B)=z_B,\end{array}$$

因此 $\sigma (z)=(f_A(z),f_B(z))$，这就唯一确定了 $\sigma$．容易验证这个定义确实是良定义的，且使得上述图交换．

可见研究泛性质的关键在于唯一存在某种态射，这样就无需过于关注背后的范畴结构．这里唯一确定的 $\sigma$ 一般记作 $f_A\times f_B$，它是函数之间的（笛卡尔）积．

受此启发，我们可以用切片范畴的终对象为任意范畴定义积的概念．

定义 6 设 $\mathsf{C}$ 是一个范畴，$A$ 与 $B$ 是其中的两个对象．若存在对象 $X\in \mathrm{Obj}(\mathsf{C})$ 以及态射

$$\begin{array}{r}{\pi }_A\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,A),\\ {\pi }_B\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,B),\end{array}$$

使得对任意 $Z\in \mathrm{Obj}(\mathsf{C})$ 以及态射

$$\begin{array}{r}{f}_A\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(Z,A),\\ f_B\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(Z,B),\end{array}$$

都存在唯一的态射 $\sigma \in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(Z,X)$ 使得图

交换，则称 $X$ 为对象 $A$ 与 $B$ 的积（product），记作 $A\times B$；称 $\sigma$ 为态射 $f_A$ 与 $f_B$ 的积，记作 $f_A\times f_B$．换言之，我们有以下交换图：

我们曾证明过端对象在同构的意义下是唯一的，因此即使上述 $X$ 可能有多种不同的定义，它们之间都是同构的．具体来说，假设 $X$ 和 $Y$ 都是积，则存在相应的映射 ${\pi }_A^X:X\to A$、${\pi }_B^X:X\to B$、${\pi }_A^Y:Y\to A$ 以及 ${\pi }_B^Y:Y\to B$。根据图

可以看出，在 ${\mathsf{C}}_{A,B}$ 中有 $({\pi }_A^X,{\pi }_B^X)\cong ({\pi }_A^Y,{\pi }_B^Y)$，且这个同构为

$${\pi }_A^X\times {\pi }_B^X\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y),$$

其在 $\mathsf{C}$ 中的逆为

$${\pi }_A^Y\times {\pi }_B^Y\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(Y,X),$$

这一点由图的交换性保证（可以在 $X$ 上添加一个 $1_X$ 所确定的自环）．于是 ${\pi }_A^X\times {\pi }_B^X$ 构成了 $X$ 与 $Y$ 之间的同构．

例 13 考虑 $\mathbb{Z}$ 连同其上的偏序 $\le$ 所确定的范畴，其上有没有积呢？给定 $a,b\in \mathbb{Z}$，若积 $a\times b$ 存在，则对任意 $z\in \mathbb{Z}$，当 $z\le a$ 且 $z\le b$ 时都有

$$\begin{array}{rl}z& \le a\times b\le a,\\ z& \le a\times b\le b.\end{array}$$

这个积确实存在，只不过一般我们写作 $\min (a,b)$．

集合的笛卡尔积与整数的取最小值操作居然通过切片范畴联系在了一起，这足以说明范畴论的泛用性．

余积

与积类似，如果我们在余切片范畴 ${\mathsf{C}}^{A,B}$ 中考虑始对象，则同样能定义一个新概念．

定义 7 设 $\mathsf{C}$ 是一个范畴，$A$ 与 $B$ 是其中的两个对象．若存在对象 $X\in \mathrm{Obj}(\mathsf{C})$ 以及态射

$$\begin{array}{r}{i}_A\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,X),\\ i_B\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(B,X),\end{array}$$

使得对任意 $Z\in \mathrm{Obj}(\mathsf{C})$ 以及态射

$$\begin{array}{r}{f}_A\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(A,Z),\\ f_B\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(B,Z),\end{array}$$

都存在唯一的态射 $\sigma \in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Z)$ 使得图

交换，则称 $X$ 为对象 $A$ 与 $B$ 的余积（coproduct），记作 $A\bigsqcup B$（在特定场景下记作 $A\oplus B$，例如交换群）；称 $\sigma$ 为态射 $f_A$ 与 $f_B$ 的余积，记作 $f_A\bigsqcup f_B$（在特定场景下记作 $f_A\oplus f_B$）．换言之，我们有以下交换图：

例 14 范畴 $\mathsf{Set}$ 存在余积，它通常被称为不相交并（disjoint union）．标准的集合并运算并不区分元素来源，因此 $A\cup B$ 的元素个数可能小于 $|A|+|B|$．不相交并则将来自不同集合的元素视作不同对象，如何实现这一点的方法有很多，但我们知道余积在同构的意义下唯一，因此只需要构造出一种方式．

对任意集合 $A$ 与 $B$，定义

$$\begin{array}{rl}A\bigsqcup B& :=(\{0\}\times A)\cup (\{1\}\times B)\\ & =\{(0,a)|a\in A\}\cup \{(1,b)|b\in B\},\end{array}$$

并定义函数

$$\begin{array}{rlr}{i}_A& :A\to A\bigsqcup B,& a\mapsto (0,a),\\ i_B& :B\to A\bigsqcup B,& b\mapsto (1,b),\end{array}$$

则可以验证：对任意函数 $f_A:A\to Z$ 和 $f_B:B\to Z$，$f_A\bigsqcup f_B$ 为

$$\begin{array}{rl}(f_A\bigsqcup f_B)(0,a)& =f_A(a),\\ (f_A\bigsqcup f_B)(1,b)& =f_B(b).\end{array}$$

例 15 考虑 $\mathbb{Z}$ 连同其上的偏序 $\le$ 所确定的范畴，其余积为 $a\bigsqcup b=\max (a,b)$．