理想与商环

Rehnertz2025/11/7

理想与商环

理想

在 $Grp$ 中，我们可以用正规子群构造商群，并建立群同态的典范分解．在 $Ring$ 中我们有类似结论，此时正规子群所对应的对象是理想．

定义 1 设 $R$ 为环， $I$ 是 $(R, +)$ 的子群．若对任意 $r \in R$ 都有 $r I \subseteq I$ ，即

\forall r \in R : \forall a \in I : r a \in I,

则称 $I$ 是 $R$ 的一个左理想（left-ideal）．若对任意 $r \in R$ 都有 $I r \subseteq I$ ，即

\forall r \in R : \forall a \in I : a r \in I,

则称 $I$ 是 $R$ 的一个右理想（right-ideal）．若 $I$ 既是左理想又是右理想，则称其为双边理想（two-sided ideal），简称为理想．

在交换环中，所有左/右理想当然都是双边理想．我们知道若 $S$ 是 $R$ 的子环，那么 $S$ 保持 $R$ 的结构，特别地 $1_{R} \in S$ ．对于 $R$ 的理想 $I$ ，其定义保证 $I$ 保持 $R$ 上的运算，但未必包含 $1_{R}$ ．事实上，若 $1_{R} \in I$ ，则对任意 $r \in R$ 都有 $r = r 1_{R} \in r I \subseteq I$ ，因此 $R \subseteq I$ ，从而 $I = R$ ．因此，若理想不是 $R$ 本身，则它没有单位元 $1_{R}$ ，是一种“rng”．

在群中“核 $⟺$ 正规子群”，在环中我们也将说明“核 $⟺$ 理想”．

命题 1 设 $φ : R \to S$ 是环同态，则 $ker φ$ 是 $R$ 的（双边）理想．

证明根据群论的结论，我们知道 $ker φ$ 是 $(R, +)$ 的子群．对任意 $r \in R$ 和 $a \in ker φ$ ，我们有

φ (r a) φ (a r) = φ (r) φ (a) = φ (r) \cdot 0 = 0, = φ (a) φ (r) = 0 \cdot φ (r) = 0,

故 $r a \in ker φ$ 且 $a r \in ker φ$ ，从而 $r ker φ \subseteq ker φ$ 且 $(ker φ) r \subseteq ker φ$ ，即 $ker φ$ 是 $R$ 的双边理想．

对于“理想 $⟹$ 核”，我们在给出环同态的典范分解后说明．

商环

设 $R$ 是环， $I$ 是交换群 $(R, +)$ 的一个子群，则有商群 $R / I$ ，其中的元素都形如

r + I (r \in R) .

此时有典范投影

π : R \to \frac{R}{I}, r \mapsto r + I .

商群 $R / I$ 能否作为环对待呢？假设 $π$ 是环同态，则对任意 $a, b \in R$ 有

ab + I = π (ab) = π (a) π (b) = (a + I) (b + I),

从而构成了 $R / I$ 上的乘法．于是若我们要让 $R / I$ 成为一个环，我们就需要 $π$ 成为环同态．它是否一定是环同态呢？事实上未必．

例 1 考虑 $Z$ 作为 $Q$ 的子群， $Q / Z$ 中的元素形如

a + Z (a \in Q) .

显然 $0 + Z = 1 + Z$ ．然而，若考虑 $\frac{1}{2} + Z$ 与 $0 + Z$ 、 $1 + Z$ 的乘法，有

0 \cdot \frac{1}{2} + Z = Z \neq = \frac{1}{2} + Z = \frac{1}{2} \cdot 1 + Z .

这说明无法自然地定义 $Q / Z$ 上的乘法，即典范投影不是环同态．

什么情形下商群 $R / I$ 是一个环呢？这相当于要求 $π$ 是环同态，从而 $π : R \to R / I$ 是环同态．由于 $I$ 是 $π$ 的核， $I$ 是 $R$ 的双边理想．下面证明双边理想 $I$ 能使得 $R / I$ 成为环．

假设 $R / I$ 上的乘法运算定义为

(a + I) (b + I) := ab + I (a, b \in R) .

我们需要证明这一定义是良定义的．若子群 $I$ 是 $R$ 的双边理想，则对任意 $a^{'}, a^{''}, b^{'}, b^{''} \in R$ ，若

a^{'} + I = a^{''} + I 且 b^{'} + I = b^{''} + I,

亦即 $a^{''} - a^{'} \in I$ 且 $b^{''} - b^{'} \in I$ ，则

a^{''} b^{''} - a^{'} b^{'} = a^{''} b^{''} - a^{''} b^{'} + a^{''} b^{'} - a^{'} b^{'} = a^{''} (b^{''} - b^{'}) + (a^{''} - a^{'}) b^{'} \in I,

故 $$a' b' + I = a'' b'' + I$，证毕．

综上所述，只有（双边）理想 $I$ 能让 $R / I$ 成为环．由于 $I$ 是典范映射 $π : R \to R / I$ 的核，我们就说明了“核 $⟺$ 理想”．

定义 2 设 $I$ 是环 $R$ 的理想，我们称 $R / I$ 为 $R$ 模 $I$ 的商环（quotient ring of $R$ modulo $I$ ）．

即使 $I$ 不是理想，我们也能如同群中的约定那样用 $R / I$ 表示全体左陪集构成的集合，只不过此时不存在乘法运算．

我们曾说明 $Z$ 的子群必然形如 $n Z$ （ $n$ 为非负整数），而 $n Z$ 显然是 $Z$ 的理想，因此 $Z / n Z$ 是环．不过我们早已讨论过 $Z / n Z$ 上的乘法了．

我们知道 $Z$ 是 $Ring$ 上的始对象，这就引出以下定义．

定义 3 设 $R$ 是环．对唯一形如 $f : Z \to R$ 的环同态 $a \mapsto a 1_{R}$ ，其核 $ker f$ 是 $Z$ 的子群，故存在非负整数 $n$ 使得 $ker f = n Z$ ．我们称该 $n$ 是 $R$ 的特征（characteristic）．

由于 $n 1_{R} = f (n) = 0_{R}$ ，交换群 $(R, +)$ 中的元素 $1_{R}$ 的阶整除 $n$ ．若 $n > 0$ ，则事实上对任意位于 $0$ 和 $n$ 之间的整数 $a$ 都有 $a \in / ker f = n Z$ ，即 $a 1_{R} = f (a) \neq = 0_{R}$ ，因此 $1_{R}$ 的阶不可能为 $a$ ，从而只可能是 $n$ ．若 $n = 0$ ，则 $ker f = {0}$ ，因此对任意不为零的整数 $a$ 都有 $a 1_{R} \neq = 0_{R}$ ，从而 $1_{R}$ 的阶是 $\infty$ ．反过来我们也能根据 $1_{R}$ 的阶推出 $R$ 的特征．

综上所述， $R$ 的特征与 $1_{R}$ 作为交换群 $(R, +)$ 的元素的阶相关联．若 $1_{R}$ 的阶是有限值 $n$ ，则 $R$ 的特征就是 $n$ ；若 $1_{R}$ 的阶是 $\infty$ ，则 $R$ 的特征是 $0$ ．

与商环相关的泛性质都完全继承自群论，我们显式给出其描述，而读者应当确信自己已经见过其证明．

定理 2 设 $R$ 是环， $I$ 是 $R$ 的双边理想，则对任意环同态 $φ : R \to S$ ，若 $I \subseteq ker φ$ ，则唯一存在环同态 $\tilde{φ} : R / I \to S$ 使得下图交换：

其中 $π$ 是典范投影 $r \mapsto r + I$ ．

若读者有所遗忘，我们提示 $\tilde{φ}$ 的定义是

\tilde{φ} (r + I) := φ (r) .

典范分解及其推论

与群论类似，商环的泛性质导出了环同态的典范分解．

定理 3 每个环同态 $φ : R \to S$ 都可按如下交换图分解，其中 $π$ 是典范投影， $\tilde{φ}$ 如前文所述， $i$ 是包含映射：

定理 4 若 $φ : R \to S$ 是满的环同态，则

S ≅ \frac{R}{ker φ} .

定理 5（环同构第三定理）设 $I$ 和 $J$ 是环 $R$ 的理想且 $I \subseteq J$ ，则 $J / I$ 是 $R / I$ 的理想，且

\frac{R / I}{J / I} ≅ \frac{R}{J} .

证明设 $π_{I} : R \to R / I$ 和 $π_{J} : R \to R / J$ 为典范映射．由于 $I \subseteq J = ker π_{J}$ ，根据商环的泛性质，唯一存在环同态

φ : R / I \to R / J

使得 $π_{J} = φ \circ π_{I}$ ，其定义为

φ (r + I) := φ (r + J) .

这显然是满射．又

ker φ = {r + I ∣ φ (r + I) = J} = {r + I ∣ r + J = J} = {r + I ∣ r \in J} = J / I,

这说明 $J / I$ 是理想，故

\frac{R / I}{J / I} = \frac{R / I}{ker φ} ≅ \frac{R}{J} .

至于形如

\frac{I + J}{I}, \frac{J}{I \cap J}

的集合，我们在引入模这一概念之后再讨论，因为它们未必是环．