范畴 Ring

环同态

与群同态类似，环同态是保持环上运算结构的函数．具体来说，对任意函数 $\phi :R\to S$（其中 $R$ 和 $S$ 是环），若

$$\phi (1_R)=1_S$$

且对所有 $a,b\in R$ 都有

$$\begin{array}{rl}\phi (a+b)& =\phi (a)+\phi (b),\\ \phi (ab)& =\phi (a)\phi (b),\end{array}$$

则称 $\phi$ 是环同态．

与群同态的证明方式一致，我们可以证明 $\phi (0_R)=0_S$，并且环同态也保持逆运算，即对任意 $a\in R$ 都有

$$\begin{array}{rl}\phi (-a)& =-\phi (a),\\ \phi (a^{-1})& =\phi (a{)}^{-1}.\end{array}$$

当然，更细致地说，环同态能够保持左可逆元（或右可逆元），留给读者自行验证．环同态不能保持非零因子，例如典范投影

$$\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$

将非零因子 $2$ 映射到 $[2{]}_6$，但

$$[2{]}_6\cdot [3{]}_6=[0{]}_6$$

表明 $[2{]}_6$ 是零因子．

与 $\mathsf{Grp}$ 一样，全体环也能构成范畴 $\mathsf{Ring}$，其中的态射是环同态．零环是$\mathsf{Ring}$ 中的终对象，但与 $\mathsf{Grp}$ 不同，它不是始对象，因为环同态要求把 $1$ 映射到 $1$，但零环是唯一一个满足 $1=0$ 的环．

$\mathsf{Ring}$ 中也确实有始对象：$\mathbb{Z}$．若 $\phi :\mathbb{Z}\to R$ 是环同态，则对任意 $n\in \mathbb{Z}$ 必然有

$$\phi (n)=n{1}_R,$$

且容易验证这个定义确实是环同态．始对象唯一的重要前提是环的定义要求存在乘法单位元．

多项式环的泛性质

多项式环具有特殊的泛性质，其思想与自由群的构建有异曲同工之处．我们首先考察较为简单的多项式环 $\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]$．

令 $A=\{a_1,\dots ,a_n\}$ 为 $n$ 元素集，我们如下构造范畴 ${\mathcal{R}}_A$．${\mathcal{R}}_A$ 的对象是形如

$$j:A\to R(R\text{为交换环})$$

的函数．对任意对象

$$\begin{array}{rl}{j}_1& :A\to R_1,\\ j_2& :A\to R_2,\end{array}$$

其间的态射 $j_1\to j_2$ 是使得下图交换的环同态 $\phi :R_1\to R_2$：

类似的范畴已经见过很多了，我们不再验证 ${\mathcal{R}}_A$ 确实是一个范畴．

假设 $i:A\to \mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]$ 将 $a_k$ 映射到多项式 $x_k$，则它也是 ${\mathcal{R}}_A$ 中的对象．

命题 1 上述定义的 $i:A\to \mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]$ 是 ${\mathcal{R}}_A$ 中的始对象．

证明 设 $j:A\to R$ 是 ${\mathcal{R}}_A$ 中的任意对象，我们需要证明唯一存在环同态 $\phi :\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]\to R$ 使得下图交换：

如若真的存在这样的环同态 $\phi$，则对任意 $a_k\in A$ 有

$$j(a_k)=\phi (i(a_k))=\phi (x_k).$$

对任意 $\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]$ 中的元素有

$$\begin{array}{rl}\phi \left(\sum m_{i_1\cdots i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}\right)& =\sum \phi (m_{i_1\cdots i_n})\phi (x_1{)}^{i_1}\cdots \phi (x_n{)}^{i_n}\\ & =\sum \iota (m_{i_1\cdots i_n})j(x_1{)}^{i_1}\cdots j(x_n{)}^{i_n},\end{array}$$

其中 $\iota :\mathbb{Z}\to R$ 是唯一的环同态 $n\mapsto n{1}_R$．上述是 $\phi$ 唯一可能的定义，且可验证确实是环同态．

提示

严格来说，上述证明过程中只用到了各 $j(a_k)$ 之间可交换（因为我们默认未定元 $x_k$ 之间是可交换的），因此 ${\mathcal{R}}_A$ 中的对象 $j:A\to R$ 可以放宽条件，只要求 $R$ 中 $j(a_k)$ 之间可交换．

例 1 考虑 $n=1$ 的情形（此时交换性已无关紧要），给定任意环 $S$ 以及其中的元素 $s\in S$，存在唯一的环同态 $\mathbb{Z}[x]\to S$ 将 $x$ 映射为 $s$．这可以看作是对不定元 $x$ 的赋值．

下面我们考虑更一般的 $R[x]$ 的泛性质．给定任意环同态 $\alpha :R\to S$，取定 $s\in S$ 且 $s$ 与所有 $\alpha (r)(r\in R)$ 都可交换，则唯一存在环同态 $\overline{\alpha }:R[x]\to S$ 使得它是 $\alpha$ 的扩展（即 $\overline{\alpha }$ 在常数上与 $\alpha$ 一致）且将 $x$ 映射为 $s$．

事实上，若存在这样的 $\overline{\alpha }$，则对任意 $R[x]$ 中的元素都有

$$\begin{array}{rl}\overline{\alpha }\left(\sum _{i\ge 0}{a}_i{x}^i\right)& =\sum _{i\ge 0}\overline{\alpha }(a_i)\overline{\alpha }(x{)}^i\\ & =\sum _{i\ge 0}\alpha (a_i)s^i.\end{array}$$

这是 $\overline{\alpha }$ 唯一可行的定义．

上述例子实际上就是多项式的“赋值”．特别地，考虑 $S=R$ 为交换环的情形．对于任意元素 $r\in R$ 以及恒等映射 $\alpha ={\mathrm{id}}_R:R\to R$，唯一存在扩展 ${\mathrm{id}}_R$ 且将 $x$ 映射为 $r$ 的环同态 $R[x]\to R$

$$\begin{array}{c}\overline{\alpha }:R[x]\to R,\\ \sum _{i\ge 0}{a}_i{x}^i\mapsto \sum _{i\ge 0}{a}_i{r}^i.\end{array}$$

由于 $R$ 可以视作 $R[x]$ 的子集，任意多项式 $f(x)={\sum }_{i\ge 0}{a}_i{x}^i\in R[x]$ 都根据 $\overline{\alpha }$ 诱导出一个函数 $f:R\to R$：

$$f(r)=\sum _{i\ge 0}{a}_i{r}^i.$$

上述分析说明一般应用多项式环 $R[x]$ 时都是处理交换环的情形．

我们将多项式记作 $f(x)$，将相应的多项式函数记作 $f$．我们需要严格区分这两者．

例 2 考虑 $R=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，定义多项式 $f(x)=x^2-x\in R[x]$．显然 $f(x)$ 不是零多项式．然而

$$\begin{array}{rl}f([0{]}_2)& =[0{]}_2,\\ f([1{]}_2)& =[1{]}_2\cdot [1{]}_2-[1{]}_2=[0{]}_2,\end{array}$$

因此多项式函数 $f$ 是平凡映射 $[0{]}_2$．这就要求我们严格区分多项式 $f(x)$ 与多项式函数 $f$．

单同态与满同态

环同态 $\phi :R\to S$ 的核（kernel）定义为

$$\ker \phi :={\phi }^{-1}(0)=\{r\in R|\phi (r)=0\},$$

这就是环作为加法群时群同态的核．环同态的核与群同态具有类似的性质．

命题 2 设 $\phi :R\to S$ 是环同态，则以下命题相互等价：

1. $\phi$ 是单同态；
2. $\ker \phi =\{0\}$；
3. $\phi$（作为集合函数）是单射．

证明 $(1⟹2)$ 设 $\phi :R\to S$ 是单同态．任取 $r\in \ker \phi$．我们存在唯一的环同态 ${\mathrm{ev}}_r:\mathbb{Z}[x]\to R$ 使得 ${\mathrm{ev}}_r(x)=r$ 以及唯一的环同态 ${\mathrm{ev}}_0:\mathbb{Z}[x]\to R$ 使得 ${\mathrm{ev}}_0(x)=0$．$\phi \circ {\mathrm{ev}}_r$ 与 $\phi \circ {\mathrm{ev}}_0$ 相等（因为它们都将 $x$ 映射到 $0$ 且在 $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}[x]$ 上相等），根据单同态的定义可得 ${\mathrm{ev}}_r={\mathrm{ev}}_0$，于是

$$r={\mathrm{ev}}_r(x)={\mathrm{ev}}_0(x)=0.$$

由于 $r$ 是任意的，$\ker \phi =\{0\}$．

$(2⟹3)$ 由群论中的结论得出．

$(3⟹1)$ 这是 $\mathsf{Set}$ 上的特例．

对于环单同态 $\phi :R\to S$，$R$ 可以对等为 $S$ 的子集．

定义 1 设 $R$ 为环，$S\subseteq R$．若包含映射 $S\hookrightarrow R$ 是环单同态，则称 $S$ 为 $R$ 的子环（subring）．

与子群类似，子环 $S$ 就是包含 $1_R$ 且继承 $R$ 上的加法与乘法的环．$(S,+)$ 是 $(R,+)$ 的子群．零环不是任何非零环的子环．

尽管单同态的性质与 $\mathsf{Grp}$ 一样，在 $\mathsf{Ring}$ 中满同态则截然不同．作为 $\mathsf{Set}$ 的特例，满射的环同态当然是环满同态，但环满同态未必是满射．

考虑唯一的环同态

$$\iota :\mathbb{Z}\to \mathbb{Q},$$

它显然不是满射，自然也不是 $\mathsf{Set}$ 或 $\mathsf{Ab}$ 中的满同态，但它是 $\mathsf{Ring}$ 中的满同态．任取环 $R$ 与环同态 ${\beta }_1,{\beta }_2:\mathbb{Q}\to R$，它们在 $\mathbb{Z}$ 上是相等的，记 $\beta :={\beta }_1{|}_{\mathbb{Z}}={\beta }_2{|}_{\mathbb{Z}}$．若 ${\beta }_1\circ \iota ={\beta }_2\circ \iota$，则必然 ${\beta }_1={\beta }_2$，因为任意 $\mathbb{Q}$ 中的元素都能写成 $p/q=p{q}^{-1}$ $(p,q\in \mathbb{Z})$，进而

$${\beta }_i\left(p{q}^{-1}\right)={\beta }_i(p){\beta }_i(q^{-1})=\beta (p)\beta (q{)}^{-1}(i=1,2),$$

这表明 ${\beta }_1={\beta }_2$．

因此，在 $\mathsf{Ring}$ 中环同态可能同时是单同态与满同态，但不是同构．

积

环 $R_1$ 与 $R_2$ 的积就是 $R_1\times R_2$，它可以视作（交换）群的（直）积，具有以下运算：

$\forall (a_1,a_2),(b_1,b_2)\in R_1\times R_2$，

$$\begin{array}{rl}(a_1,a_2)+(b_1,b_2)& =(a_1+b_1,a_2+b_2),\\ (a_1,a_2)\cdot (b_1,b_2)& =(a_1{b}_1,a_2{b}_2).\end{array}$$

容易验证这就是范畴 $\mathsf{Ring}$ 中的积．

至于 $\mathsf{Ring}$ 的余积则没那么简单，哪怕只考虑交换环也需要用到张量这一概念，我们在此略去．

环 ${\mathrm{End}}_{\mathsf{Ab}}(G)$

对任意 Abel 群 $G$，${\mathrm{End}}_{\mathsf{Ab}}(G)$ 是一个环，其中加法沿用 $G$ 的运算，乘法为群同态的复合．

命题 3 在 $\mathsf{Ring}$ 中有 ${\mathrm{End}}_{\mathsf{Ab}}(\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$．

证明 考虑函数

$$\begin{array}{c}\phi :{\mathrm{End}}_{\mathsf{Ab}}(\mathbb{Z})\to \mathbb{Z},\\ \alpha \mapsto \alpha (1).\end{array}$$

对任意 $\alpha ,\beta \in {\mathrm{End}}_{\mathsf{Ab}}(\mathbb{Z})$，我们有

$$\phi (\alpha +\beta )=(\alpha +\beta )(1)=\alpha (1)+\beta (1)=\phi (\alpha )+\phi (\beta ).$$

此外，若记 $a:=\alpha (1)\in \mathbb{Z}$，则对任意 $n\in \mathbb{Z}$ 都有

$$\alpha (n)=n\alpha (1)=na=an,$$

特别地对 $n:=\beta (1)$ 的情形有

$$(\alpha \circ \beta )(1)=\alpha (\beta (1))=a\beta (1)=\alpha (1)\beta (1),$$

故

$$\phi (\alpha \circ \beta )=\phi (a)\phi (b).$$

又显然

$$\phi ({\mathrm{id}}_{\mathbb{Z}})={\mathrm{id}}_{\mathbb{Z}}(1)=1.$$

综上所述 $\phi$ 是环同态．为证明 $\phi$ 是同构，只需找到其逆．定义

$$\begin{array}{c}\psi :\mathbb{Z}\to {\mathrm{End}}_{\mathsf{Ab}}(\mathbb{Z}),\\ a\mapsto (n\mapsto an),\end{array}$$

则一方面对任意 $\alpha \in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ab}}(\mathbb{Z})$ 有

$$(\psi \circ \phi )(\alpha )=\psi (\alpha (1))=(n\mapsto \alpha (1)n)=(n\mapsto \alpha (n))=\alpha ,$$

另一方面对任意 $a\in \mathbb{Z}$ 有

$$(\phi \circ \psi )(a)=\phi (n\mapsto an)=a\cdot 1=a,$$

故 $\psi$ 是 $\phi$ 的逆．