理想与商的更多例子；素理想与极大理想

Rehnertz2025/11/7

理想与商的更多例子；素理想与极大理想

基本运算

通常我们习惯用一些生成元来定义理想．设 $R$ 是环， $a \in R$ ，则 $R a$ 是 $R$ 的左理想， $a R$ 是 $R$ 的右理想．当 $R$ 是交换环时，我们将 $R a = a R$ 记作 $(a)$ ，成为 $a$ 生成（generate）的主理想（principle ideal）．

主理想是由单个元素生成的理想．

一般地，设 ${I_{α}}_{α \in A}$ 是环 $R$ 的一族理想，定义

α \in A \sum I_{α} := {α \in A \sum r_{α} r_{α} \in I_{α} 且只有有限多个 r_{α} \neq = 0},

则显然 $\sum_{α}$ 依然是 $R$ 的理想（是包含所有 $I_{α}$ 的最小理想），称为 ${I_{α}}_{α \in A}$ 所生成（generate）的理想．

特别地，设 ${a_{α}}_{α \in A}$ 是一族交换环 $R$ 中的元素，则其生成的理想记为

(a_{α})_{α \in A} := α \in A \sum (a_{α}) .

特别地，当 $A = {1, 2, \dots, n}$ 时记

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) := (a_{1}) + (a_{2}) + \dots + (a_{n}) .

显然其中的元素都具有形式

r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} + \dots + r_{n} a_{n} (r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n} \in R) .

由有限多个元素生成的理想称为有限生成的（finitely generated）理想．

例 1 设 $R$ 是交换环， $a, b \in R$ ．我们将 $R / (a)$ 中的元素 $b + (a)$ 记作 $\overline{b}$ ．

$R / (a)$ 的理想 $(\overline{b})$ 中的元素形如

\overline{s} \cdot \overline{b} = (s + (a)) \cdot (b + (a)) = s b + (a) (s \in R) .

$R$ 的理想 $(a, b)$ 中的元素形如

r a + s b (r, s \in R),

因此 $(a, b) / (a)$ 中的元素形如

r a + s b + (a) = {r a + s b + t a ∣ t \in R} = s b + (a),

故 $(a, b) / (a) = (\overline{b})$ ．于是

\frac{R / ( a )}{( b )} = \frac{R / ( a )}{( a , b ) / ( a )} ≅ \frac{R}{( a , b )} .

主理想是非常特殊的有限生成理想，在许多更深的代数领域中有重要应用．

定义 1 设 $R$ 是交换环．若 $R$ 的所有理想都是有限生成的，则称 $R$ 为 Noether 环（Noetherian ring）．

定义 2 设 $R$ 是整环．若 $R$ 的所有理想都是主理想（单元素生成的），则称 $R$ 为主理想整环（principal ideal domain），简记为 PID．

显然主理想整环一定是 Neother 环（注意整环的定义就要求交换性）．

命题 1 $Z$ 是主理想整环．

证明设 $I$ 是 $Z$ 的任意理想，则 $I$ 是交换群 $(Z, +)$ 的子群，因此存在非负整数 $n$ 使得 $I = n Z = (n)$ ，故 $I$ 是主理想．

许多数论材料中会将整数 $m$ 与 $n$ 的最大公约数记作 $(m, n)$ ，这与 $Z$ 为主理想整环有很大关联．对任意 $m, n \in Z$ ，其生成的理想 $(m, n)$ 是主理想，因此存在 $d \in Z$ 使得

(m, n) = (d) .

不失一般性可设 $d$ 非负（因为 $(d) = (- d)$ ）．上式表明 $(m, n)$ 中的元素都是 $d$ 的倍数，则特别地 $m$ 和 $n$ 都是 $d$ 的倍数，即 $d$ 是 $m$ 与 $n$ 的公因数．此外，由于 $d \in (m, n)$ ，存在 $s, t \in Z$ 使得

d = s m + t n .

任意 $m$ 与 $n$ 的公因数显然都整除上式，故整除 $d$ ，因此 $d$ 必然是最大公因数．

我们曾说明 $g cd (m, n) = 1$ 当且仅当存在 $s, t \in Z$ 使得

s m + t n = 1.

更一般地，在理想的视角下， $(m, n) = (d)$ 表明关于整数 $s$ 和 $t$ 的不定方程

s m + t n = k g cd (m, n)

对任意整数 $k$ 都有解．

命题 2 设 $k$ 是域，则 $k [x]$ 是主理想整环．

证明我们曾证明 $R [x]$ 是整环当且仅当 $R$ 是整环，因此这里只需证明 $k [x]$ 的理想都是主理想．

任取 $k [x]$ 的理想 $I$ ．若 $I = (0)$ 则 $I$ 是主理想．若 $I \neq = (0)$ ，任取 $I$ 中次数最小的非零多项式 $f (x)$ ．由于 $f (x)$ 是域上的多项式，将 $f (x)$ 除以首项系数后依然在理想 $I$ 中，我们可以要求取到的 $f (x)$ 是首一多项式．

对任意 $g (x) \in I$ ，若 $g (x)$ 为零多项式，则 $g (x) = 0 \cdot f (x) \in (f (x))$ ．若 $g (x)$ 不为零多项式，做多项式除法得到 $q (x), r (x) \in k [x]$ 使得

g (x) = q (x) f (x) + r (x), de g r (x) < de g f (x) .

由于 $g (x) \in I$ ， $q (x) f (x) \in (f (x)) \subseteq I$ ，故

r (x) = g (x) - q (x) f (x) \in I .

若 $r (x)$ 不是零多项式，则由于 $f (x)$ 是 $I$ 中次数最小的多项式（之一），我们有

de g r (x) \geq de g f (x),

这与 $de g r (x) < de g f (x)$ 矛盾，因此 $r (x)$ 为零多项式，从而

g (x) = q (x) f (x) \in (f (x)) .

由 $g (x)$ 的任意性可知 $I \subseteq (f (x))$ ，故 $I = (f (x))$ ．由 $I$ 的任意性可知 $k [x]$ 是主理想整环．

例 2 $Z [x]$ 不是主理想整环．

考虑其中的理想

(2, x) = {2 f (x) + xg (x) ∣ f (x), g (x) \in Z [x]} .

显然 $(2, x)$ 是所有常数项为偶数的整系数多项式．如果存在 $h (x) \in Z [x]$ 使得 $(2, x) = (h (x))$ ，则：

若 $h (x)$ 是常数（次数小于 $1$ ），则它必须是偶数，从而 $(h (x))$ 是所有偶系数多项式，不包含 $x \in (2, x)$ ；
若 $h (x)$ 的次数大于或等于 $1$ ，则 $(h (x))$ 中的非零多项式的次数至少为 $1$ ，不包含常数 $2 \in (2, x)$ ．

综上所述 $(h (x)) \neq = (2, x)$ ，矛盾．

除了求和，理想之间还有其他运算．

设 ${I_{α}}_{α \in A}$ 是环 $R$ 的一族理想，则容易证明 $⋂_{α \in A} I_{α}$ 也是 $R$ 的理想（包含在所有 $I_{α}$ 中的最大理想）．
若 $I$ 和 $J$ 都是 $R$ 的理想，我们用 $I J$ 表示所有形如 $ij$ ( $i \in I, j \in J$ ) 的乘积所生成的理想．更一般地，若 $I_{1}, \dots, I_{n}$ 都是 $R$ 的理想，则我们用 $I_{1} \dots, I_{n}$ 表示所有形如 $i_{1} \dots i_{n}$ ( $i_{k} \in I_{k}$ ) 的乘积所生成的理想．

多项式环的商

我们首先给出首一多项式的若干性质．首先根据多项式乘法定义可知，若 $f (x)$ 是首一的，则对任意其他多项式 $g (x)$ 都有

de g (f (x) g (x)) = de g f (x) + de g g (x) .

命题 3 设 $k$ 是域，则 $k [x]$ 中的所有非零（主）理想都由唯一的首一多项式生成．

证明我们已经证明过 $k [x]$ 是主理想整环，且证明过程中已经体现非零环 $(f (x))$ 中的 $f (x)$ 可以是首一多项式，故只需证明当 $f (x)$ 是首一多项式时它是唯一的．

设 $f (x), g (x) \in k [x]$ 都是首一的且 $(f (x)) = (g (x))$ ． $f (x) \in (g (x))$ 表明存在 $h (x) \in k [x]$ 使得

f (x) = h (x) g (x) .

由于 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是首一的， $h (x)$ 也是首一的．同理，存在首一的 $m (x) \in k [x]$ 使得

g (x) = m (x) f (x) .

于是

f (x) = h (x) m (x) f (x) .

由于 $k [x]$ 是整环且 $f (x)$ 不为零多项式， $h (x) m (x) = 1$ ，因此 $h (x)$ 和 $m (x)$ 都是常数．两者都是首一的，因此只能是常数 $1$ ，从而 $f (x) = g (x)$ ．

命题 4 设 $R$ 是环， $f (x) \in R [x]$ 是首一的，那么 $f (x)$ 不是（左或右）零因子．

证明对任意非零多项式 $g (x) \in R [x]$ ，设其最高次项系数为 $a \neq = 0$ ，则 $f (x) g (x)$ 和 $g (x) f (x)$ 的最高次项系数都是 $a \neq = 0$ ，因此均不为零多项式，因而 $f (x)$ 不是零因子．

默认 $f (x)$ 是首一的能够保证除以 $f (x)$ 的多项式除法可以进行．使用理想可以很方便的描述多项式意义上的同余（当然整数上的同余也是一样的）．假设 $R$ 是交换环， $f (x) \in R [x]$ 是首一的，则对任意 $g (x) \in R [x]$ 唯一存在相应的余式 $r (x) \in R [x]$ 满足 $de g r (x) < de g f (x)$ 且

g (x) + (f (x)) = r (x) + (f (x)) .

这与整数中 $a \equiv b (mod n)$ 等价于

a + (n) = b + (n)

是类似的．换言之， $R [x] / (f (x))$ 是除以 $f (x)$ 的余式的等价类．

对 $R [x]$ 中任意次数小于 $d$ 的多项式，其唯一由 $d$ 个系数确定，因此可以视作直积 $R^{\oplus d}$ ． $R^{\oplus d}$ 与 $R [x]$ 之间的关系由函数

ψ : R^{\oplus d} \to R [x], (r_{0}, r_{1}, \dots, r_{d - 1}) \mapsto r_{0} + r_{1} x + \dots + r_{d - 1} x^{d - 1}

描述．这是两个加法交换群之间的群同构，且是单射．

命题 5 设 $R$ 是交换环， $f (x) \in R [x]$ 是首一的， $de g f (x) = d$ ．定义函数

φ : R [x] \to R^{\oplus d}

将 $g (x) \in R [x]$ 映射到 $g (x)$ 除以 $f (x)$ 的余式，则 $φ$ 诱导出加法交换群之间的群同构

\frac{R [ x ]}{( f ( x ))} ≅ R^{\oplus d} .

证明首先 $φ$ 是满射，这只需找到一个右逆，而它就是前文所定义的 $ψ$ ．

下面说明 $φ$ 是加法交换群之间的群同态．对任意 $g_{1} (x), g_{2} (x) \in R [x]$ ，根据多项式除法得到

g_{1} (x) g_{2} (x) = f (x) q_{1} (x) + r_{1} (x), = f (x) q_{2} (x) + r_{2} (x),

其中 $r_{1} (x)$ 和 $r_{2} (x)$ 的次数都小于 $d$ ，于是

g_{1} (x) + g_{2} (x) = f (x) (q_{1} (x) + q_{2} (x)) + (r_{1} (x) + r_{2} (x))

且 $de g (r_{1} (x) + r_{2} (x)) < d$ ，故 $r_{1} (x) + r_{2} (x)$ 是 $g_{1} (x) + g_{2} (x)$ 除以 $f (x)$ 的余式，从而

φ (g_{1} (x) + g_{2} (x)) = r_{1} (x) + r_{2} (x) = φ (g_{1} (x)) + φ (g_{2} (x)) .

$φ (1) = 1$ 是显然的．综上所述 $φ$ 是群同态．

根据群同构第一定理，

\frac{R [ x ]}{ker φ} ≅ R^{\oplus d} .

而 $φ (g (x)) = 0$ 当且仅当 $g (x) = f (x) q (x)$ （ $q [x] \in R [x]$ ），亦即 $g (x) \in (f (x))$ ，因此 $ker φ = (f (x))$ ．

特别地，这一命题说明除以首一多项式 $f (x)$ 得到的所有余式能够遍历所有次数小于 $de g f (x)$ 的多项式．

例 3 设 $f (x) \in R [x]$ 是次数为 $1$ 的首一多项式，即具有形式 $f (x) = x - a$ ( $a \in R$ )．任意 $g (x) \in R [x]$ 除以 $f (x)$ 相当于求值 $g (a)$ ，这是因为根据多项式除法，存在 $q (x) \in R [x]$ 和 $r \in R$ 使得

g (x) = f (x) (x - a) + r,

这里余式是常数是因为其次数必须小于 $1$ ．故

g (a) = r .

换言之， $g (x) \in (x - a)$ 当且仅当 $g (a) = 0$ ．这也就说明多项式有根 $a$ 当且仅当它有因式 $x - a$ ．

由于余式 $r = g (a)$ 和 $a \in R$ 一一对应，自然有

\frac{R [ x ]}{( x - a )} ≅ R,

这就是前一命题的结论．

例 4 考虑除以 $x^{2} + 1$ 的余式，前一命题表明

\frac{R [ x ]}{( x ^{2} + 1 )} ≅ R \oplus R .

将相应的同构记作 $φ : R [x] / (x^{2} + 1) \to R \oplus R$ ．考虑对直和沿用 $R [x] / (x^{2} + 1)$ 上的乘法运算．任取 $(a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in R \oplus R$ ，我们有

(a_{1}, a_{2}) = φ (a_{1} + a_{2} x), (b_{1}, b_{2}) = φ (b_{1} + b_{2} x) .

多项式上的乘法表明

(a_{1} + a_{2} x) (b_{1} + b_{2} x) = a_{1} b_{1} + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) x + a_{2} b_{2} x^{2} = (x^{2} + 1) a_{2} b_{2} + (a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) x),

这意味着

φ ((a_{1} + a_{2} x) (b_{1} + b_{2} x)) = (a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2}, a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) .

因此 $R \oplus R$ 上要配备乘法运算的话，应当为

(a_{1}, a_{2}) \cdot (b_{1}, b_{2}) := (a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2}, a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) .

事实上这就是复数域 $C$ 上的乘法的定义形式．换言之，

\frac{R [ x ]}{( x ^{2} + 1 )} ≅ C .

我们知道 $R$ 中的方程 $x^{2} + 1 = 0$ 无解，但在 $R [x] / (x^{2} + 1)$ 中 $x^{2} + 1 = 0$ 有解，解就是 $x + (x^{2} + 1)$ ，因为

(x + (x^{2} + 1)) (x + (x^{2} + 1)) + 1 = x^{2} + 1 + (x^{2} + 1) = 0 + (x^{2} + 1),

因此与 $R / [x] (x^{2} + 1)$ 同构的结构自然对 $x^{2} + 1 = 0$ 有解．

素理想与极大理想

我们先证明一个辅助引理．

引理 6 设 $R$ 是环，则 $R$ 是除环当且仅当其所有的左理想和右理想只有 $(0) = {0}$ 和 $(1) = R$ ．

证明若 $R$ 是除环，则对任意左理想 $I$ ，若 $I \neq = {0}$ ，则可取得非零元素 $a \in I$ ，故

1 = a^{- 1} a \in a^{- 1} I \subseteq I,

进而对任意 $r \in R$ 都有

r = r \cdot 1 \in r I \subseteq I,

故 $R \subseteq I$ ，进而 $I = R$ ．右理想同理可证．

若 $R$ 的左右理想只有 ${0}$ 和 $R$ ，则对任意非零的 $r \in R$ 有 $(r) = R$ ．特别地 $1 \in (r)$ ，故 $r$ 存在逆元．

定义 3 设 $R$ 是交换环， $I$ 是其理想且 $I \neq = (1)$ ，则

若 $R / I$ 是整环，则称 $I$ 是素理想（prime ideal）；
若 $R / I$ 是域，则称 $I$ 是极大理想（maximal ideal）．

上述定义用理想 $I$ 所诱导的商环来描述 $I$ ，但其实其字面理解更贴近如下的等价定义．

命题 7 设 $R$ 是交换环， $I$ 是其理想且 $I \neq = (1)$ ，则

$I$ 是素理想当且仅当对所有的 $a, b \in R$ 都有
$ab \in I ⟹ a \in I 或 b \in I$ ；
$I$ 是极大理想当且仅当对所有 $R$ 的理想 $J$ 都有
$I \subseteq J ⟹ I = J 或 J = R$ ．

证明 $R / I$ 是整环当且仅当对所有的 $\overline{a}, \overline{b} \in R / I$ 都有

\overline{a} \cdot \overline{b} = 0 ⟹ \overline{a} = 0 或 \overline{b} .

由于 $R / I$ 中的 $0$ 就是 $I$ ， $\overline{a} = 0$ 等价于 $a + I = I$ 等价于 $a \in I$ （其中 $\overline{a} = a + I$ ）．上式就等价地转换为代证命题．

根据群论中的结论，注意到 $R / I$ 的理想与 $J / I$ 是一一对应的，其中 $J$ 任意是包含 $I$ 的理想．由于 $R / I$ 是交换环， $R / I$ 是域当且仅当 $R / I$ 是除环，当且仅当 $R / I$ 的理想只有 ${I}$ 和 $R / I$ ，亦即包含 $I$ 的理想只有 $I$ 和 $R$ ．

根据定义，极大理想必然是素理想，但素理想未必是极大的．

命题 8 设 $R$ 是交换环， $I$ 是 $R$ 的理想．若 $R / I$ 是有限环，则 $I$ 是素理想当且仅当 $I$ 是极大理想．

证明我们曾证明：对于有限交换环，其为整环当且仅当其为域．套用素理想和极大理想的定义即得．

除了 $R / I$ 的有限性，我们还能用主理想整环来推断素理想与极大理想之间的关系．

命题 9 设 $R$ 是主理想整环， $I$ 是 $R$ 的非零理想，则 $I$ 是素理想当且仅当 $I$ 是极大理想．

证明由于极大理想必定是素理想，我们只需证明素理想都是极大理想．

任取素理想 $(a) \neq = (0)$ 以及理想 $(b) \supseteq (a)$ ，该包含关系表明存在 $c \in R$ 使得 $a = b c$ ．由素理想定义，得到 $b \in (a)$ 或 $c \in (a)$ ．

若 $b \in (a)$ ，则 $(b) \subseteq (a)$ ，从而 $(b) = (a)$ ；
若 $c \in (a)$ ，则存在 $d \in R$ 使得 $c = d a$ ，进而 $a = b c = b d a,$ 得出 $b d = 1$ ．这表明 $b$ 是可逆元， $(b) = R$ ．

综上所述 $(b) = (a)$ 或 $(b) = R$ ，从而 $(a)$ 是极大理想．