集合系

2026/1/23

集合系

设 $Ω$ 是任意集合．由 $Ω$ 的子集构成的任意集合 $C \subseteq 𝒫 (Ω)$ 称为 $Ω$ 上的集合系（class of sets）．上一节中的长度 $𝜆$ 的定义域就是 $ℝ$ 上的集合系．

任取 $𝑎, 𝑏 \in ℝ$ ．根据几何直觉，对于测度 $𝜆$ 我们应该有

$𝜆 ((- \infty, 𝑏]) = \infty$ ，
$𝜆 ((𝑎, \infty)) = \infty$ ，
若 $𝑎 < 𝑏$ ，则 $𝜆 ((𝑎, 𝑏]) = 𝑏 - 𝑎$ ．

此外，任意可测集的交集、并集、补集也应当是可测的．因此确定 $𝜆$ 定义域的一种思路就是从如上的区间出发，将它们之间的交、并、补不断增加到定义域中，直到定义域无法再扩充．如上的区间所对应的抽象概念是半代数．

定义 1 设 $Ω$ 是集合．我们称 $Ω$ 上的集合系 $S$ 为 $Ω$ 上的半代数（semi-algebra），若

$Ω \in S$ ；
(对交运算封闭) 对所有的 $𝐴, 𝐵 \in S$ 都有 $𝐴 \cap 𝐵 \in S$ ；
对所有的 $𝐴 \in S$ 都存在相应有限多个两两不相交的 $𝐸 1, \dots, 𝐸 𝑛 \in S$ 使得补集 $𝐴 𝑐 : = Ω ∖ 𝐴$ 能写成它们的并，即 $𝐴 𝑐 = 𝑛 ⨄ 𝑖 = 1 𝐸 𝑖 .$

例 1 定义

S : = {ℝ, \emptyset} \cup {(𝑎, 𝑏] | 𝑎, 𝑏 \in ℝ, 𝑎 < 𝑏} \cup {(- \infty, 𝑏] | 𝑏 \in ℝ} \cup {(𝑎, \infty) | 𝑏 \in ℝ},

则 $S$ 是 $ℝ$ 上的半代数

我们请读者自行验证这一例子．如果觉得验证有困难，可以直接阅读下一个一般情形的例子．

区间

记 $―― ℝ : = [- \infty, \infty]$ ．对所有的 $𝑎, 𝑏 \in ―― ℝ$ 而言，我们定义区间

(𝑎, 𝑏) : = {𝑥 \in ―― ℝ | | | 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}, [𝑎, 𝑏) : = {𝑥 \in ―― ℝ | | | 𝑎 \leq 𝑥 < 𝑏}, (𝑎, 𝑏] : = {𝑥 \in ―― ℝ | | | 𝑎 < 𝑥 \leq 𝑏}, [𝑎, 𝑏] : = {𝑥 \in ―― ℝ | | | 𝑎 \leq 𝑥 \leq 𝑏} .

因此 $[𝑎, 𝑎] = {𝑎}$ ．若 $𝑎 \geq 𝑏$ 则 $(𝑎, 𝑏) = [𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑏] = \emptyset$ ．若 $𝑎 > 𝑏$ 则 $[𝑎, 𝑏] = \emptyset$ ．此外，我们定义

𝑎 \land 𝑏 : = m i n {𝑎, 𝑏}, 𝑎 \lor 𝑏 : = m a x {𝑎, 𝑏} .

对所有的 $𝑎, 𝑏 \in ――― ℝ 𝑛 : = [- \infty, \infty] 𝑛$ ，其中

𝑎 = (𝑎 1, 𝑎 2, \dots, 𝑎 𝑛) \in ――― ℝ 𝑛, 𝑏 = (𝑏 1, 𝑏 2, \dots, 𝑏 𝑛) \in ――― ℝ 𝑛,

我们定义 $――― ℝ 𝑛$ 上的偏序 $\leq$ 为

𝑎 \leq 𝑏 : ⟺ \forall 𝑖 \in {1, \dots, 𝑛} : 𝑎 𝑖 \leq 𝑏 𝑖 .

我们类似地定义区间

(𝑎, 𝑏) : = 𝑛 \prod 𝑖 = 1 (𝑎 𝑖, 𝑏 𝑖), [𝑎, 𝑏) : = 𝑛 \prod 𝑖 = 1 [𝑎 𝑖, 𝑏 𝑖), (𝑎, 𝑏] : = 𝑛 \prod 𝑖 = 1 (𝑎 𝑖, 𝑏 𝑖], [𝑎, 𝑏] : = 𝑛 \prod 𝑖 = 1 [𝑎 𝑖, 𝑏 𝑖]

以及

𝑎 \land 𝑏 : = (𝑎 1 \land 𝑏 1, 𝑎 2 \land 𝑏 2, \dots, 𝑎 𝑛 \land 𝑏 𝑛), 𝑎 \lor 𝑏 : = (𝑎 1 \lor 𝑏 1, 𝑎 2 \lor 𝑏 2, \dots, 𝑎 𝑛 \lor 𝑏 𝑛) .

例 2 定义

S : = {ℝ 𝑛, \emptyset} \cup {(𝑎, 𝑏] | 𝑎, 𝑏 \in ℝ 𝑛, 𝑎 < 𝑏} \cup {(- \infty, 𝑏] | 𝑏 \in ℝ 𝑛} \cup {(𝑎, \infty) | 𝑎 \in ℝ 𝑛},

则 $S$ 是 $ℝ 𝑛$ 上的半代数．

证明除了不包括无穷大的边界， $S$ 中的元素都能写成 $――― ℝ 𝑛$ 中的左开右闭区间，亦即

S = {(𝑎, 𝑏] \cap ℝ 𝑛 | | | 𝑎, 𝑏 \in ――― ℝ 𝑛, 𝑎 \leq 𝑏} .

任取 $𝐴 = (𝑎, 𝑏] \cap ℝ 𝑛 \in S$ 和 $𝐵 = (𝑐, 𝑑] \cap ℝ 𝑛 \in S$ ，其中 $𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 \in ――― ℝ 𝑛$ ，我们有

𝐴 \cap 𝐵 = ((𝑎, 𝑏] \cap ℝ 𝑛) \cap ((𝑐, 𝑑] \cap ℝ 𝑛) = ((𝑎, 𝑏] \cap (𝑐, 𝑑]) \cap ℝ 𝑛 = ((𝑎 \lor 𝑐, 𝑏 \land 𝑑]) \cap ℝ 𝑛 \in S .

在下面的论述中，我们将 $(𝑎, 𝑏] \cap ℝ 𝑛$ 简写为 $(𝑎, 𝑏] \circ$ ，则 $𝐴$ 的补集 $ℝ 𝑛 ∖ 𝐴$ 可以写成

ℝ 𝑛 ∖ 𝐴 = ℝ 𝑛 ∖ (𝑎, 𝑏] \circ = 𝑛 ⋃ 𝑖 = 1 ((𝑎 1, 𝑏 1] \circ \times \dots \times (𝑎 𝑖 - 1, 𝑏 𝑖 - 1] \circ \times ((- \infty, 𝑎 𝑖] \circ \cup (𝑏 𝑖, \infty] \circ) \times (𝑎 𝑖 + 1, 𝑏 𝑖 + 1] \circ \times \dots \times (𝑎 𝑛, 𝑏 𝑛] \circ) = 𝑛 ⋃ 𝑖 = 1 ((𝛼 𝑖, 𝛽 𝑖] \circ \cup (𝛾 𝑖, 𝛿 𝑖] \circ),

其中对每个 $𝑖 \in {1, \dots, 𝑛}$ 都有定义

𝛼 𝑖 : = (𝑎 1, \dots, 𝑎 𝑖 - 1, - \infty, 𝑎 𝑖 + 1, \dots, 𝑎 𝑛) \in ――― ℝ 𝑛, 𝛽 𝑖 : = (𝑏 1, \dots, 𝑏 𝑖 - 1, 𝑎 𝑖, 𝑏 𝑖 + 1, \dots, 𝑏 𝑛) \in ――― ℝ 𝑛, 𝛾 𝑖 : = (𝑎 1, \dots, 𝑎 𝑖 - 1, 𝑏 𝑖, 𝑎 𝑖 + 1, \dots, 𝑎 𝑛) \in ――― ℝ 𝑛, 𝛿 𝑖 : = (𝑏 1, \dots, 𝑏 𝑖 - 1, \infty, 𝑏 𝑖 + 1, \dots, 𝑏 𝑛) \in ――― ℝ 𝑛 .

于是 $𝐴$ 的补集能够写成 $2 𝑛$ 个 $S$ 中元素的并．

在半代数的基础上，如果我们进一步要求集合系对补运算封闭，则得到代数的定义．

定义 2 设 $Ω$ 是集合．我们称 $Ω$ 上的集合系 $A$ 为 $Ω$ 上的代数（algebra），若

$Ω \in S$ ；
(对交运算封闭) 对所有的 $𝐴, 𝐵 \in S$ 都有 $𝐴 \cap 𝐵 \in S$ ；
(对补运算封闭) 对所有的 $𝐴 \in S$ 都有 $𝐴 𝑐 \in S$ ．

我们还可以进一步要求对可数次运算封闭．

定义 3 设 $Ω$ 是集合．我们称 $Ω$ 上的集合系 $F$ 为 $Ω$ 上的 $𝝈$ 代数（ $𝜎$ -algebra），若

$Ω \in S$ ；
(对可数交运算封闭) 对所有集合列 $𝐴 1, 𝐴 2, \dots \in S$ 都有 $⋃ \infty 𝑖 = 1 𝐴 𝑖 \in S$ ；
(对补运算封闭) 对所有的 $𝐴 \in S$ 都有 $𝐴 𝑐 \in S$ ．

提示

对任意 $𝐴, 𝐵 \in A$ ，由于 $𝐴 ∖ 𝐵 = 𝐴 \cap 𝐵 𝑐$ ，代数（或 $𝜎$ 代数）自然也对集合差运算封闭．

根据集合运算的 De Morgan 律，在代数（或 $𝜎$ 代数）的定义中，对交运算的封闭性显然可以等价地改为对并运算的封闭性．

显然 $𝜎$ 代数是代数，且代数是半代数．

我们自然希望测度的定义域是 $𝜎$ 代数，而这一般需要从半代数出发，将其扩充为代数，最后扩充为 $𝜎$ 代数．下面我们用严格的数学语言定义所谓的“扩充”．

定义 4 设 $Ω$ 是集合， $C$ 是 $Ω$ 上的集合系．我们将 $Ω$ 上包含 $C$ 的最小代数称为 $C$ 所生成（generate）的代数，记作 $A (C)$ ．换言之， $C$ 的生成代数是满足以下性质的代数 $A (C)$ ：

$C \subseteq A (C)$ ；
对所有 $Ω$ 上的代数 $B$ 都有 $C \subseteq B ⟹ A (C) \subseteq B .$

定义 5 设 $Ω$ 是集合， $C$ 是 $Ω$ 上的集合系．我们将 $Ω$ 上包含 $C$ 的最小 $𝜎$ 代数称为 $C$ 所生成（generate）的 $𝜎$ 代数，记作 $F (C)$ ．换言之， $C$ 的生成 $𝜎$ 代数是满足以下性质的 $𝜎$ 代数 $F (C)$ ：

$C \subseteq F (C)$ ；
对所有 $Ω$ 上的 $𝜎$ 代数 $B$ 都有 $C \subseteq B ⟹ F (C) \subseteq B .$

对任意集合系 $C$ 而言，显然幂集 $𝒫 (Ω)$ 是包含 $C$ 的 $𝜎$ 代数，因此生成代数和生成 $𝜎$ 代数是良定义的，它们分别是所有包含 $C$ 的代数的交，以及所有包含 $C$ 的 $𝜎$ 代数的交．

给定半代数 $S$ ，其生成代数 $A (S)$ 有直接的表达式．

命题 1 设 $Ω$ 是集合系， $S$ 是 $Ω$ 上的半代数，则 $S$ 的生成代数中的任意元素都能写成有限个 $S$ 中两两不相交元素的并．换言之，

A (S) = {𝑛 ⨄ 𝑖 = 1 𝐸 𝑖 | | | | | 𝑛 \in ℕ +, 𝐸 1, \dots, 𝐸 𝑛 \in S 两两不相交} .

证明记

B : = {𝑛 ⨄ 𝑖 = 1 𝐸 𝑖 | | | | | 𝑛 \in ℕ +, 𝐸 1, \dots, 𝐸 𝑛 \in S 两两不相交} .

$(\Leftarrow)$ 任取 $𝐸 = ⨄ 𝑛 𝑖 = 1 𝐸 𝑖 \in B$ ，由于 $𝐸 𝑖 \in S \subseteq A (S)$ 且代数对有限并运算封闭， $𝐸 \in A (S)$ ．

$(\Rightarrow)$ 欲证 $A (S) \subseteq B$ ，只需证明 $B$ 是代数且包含 $S$ ，而根据定义 $S \subseteq B$ 是显然的．下面只须验证 $B$ 满足代数的三条性质．

由于 $Ω \in S$ ， $Ω \in B$ ．
任取 $𝐸, 𝐹 \in B$ ，则存在两两不相交的 $𝐸 1, \dots, 𝐸 𝑛 \in S$ 使得 $𝐸 = 𝑛 ⨄ 𝑖 = 1 𝐸 𝑖,$ 存在两两不相交的 $𝐹 1, \dots, 𝐹 𝑚 \in S$ 使得 $𝐹 = 𝑚 ⨄ 𝑗 = 1 𝐹 𝑗 .$ 于是 $𝐸 \cap 𝐹 = (𝑛 ⨄ 𝑖 = 1 𝐸 𝑖) \cap (𝑚 ⨄ 𝑗 = 1 𝐹 𝑗) = 𝑛 ⨄ 𝑖 = 1 𝑚 ⨄ 𝑗 = 1 (𝐸 𝑖 \cap 𝐹 𝑗) .$ 这是 $S$ 中两两不相交的 $𝑚 𝑛$ 个元素的并，因此 $𝐸 \cap 𝐹 \in B$ ．
任取 $𝐸 \in B$ ，则存在两两不相交的 $𝐸 1, \dots, 𝐸 𝑛 \in S$ 使得 $𝐸 = 𝑛 ⨄ 𝑖 = 1 𝐸 𝑖 .$ 对每个 $𝑖 \in {1, \dots, 𝑛}$ 而言，根据半代数的定义，存在相应的两两不相交的 $𝐸 𝑖, 1, \dots, 𝐸 𝑖, 𝑚 𝑖 \in S$ 使得 $𝐸 𝑐 𝑖 = 𝑚 𝑖 ⨄ 𝑗 = 1 𝐸 𝑖, 𝑗$ 因此 $𝐸 𝑐 = (𝑛 ⨄ 𝑖 = 1 𝐸 𝑖) 𝑐 = 𝑛 ⋂ 𝑖 = 1 𝐸 𝑐 𝑖 = 𝑛 ⋂ 𝑖 = 1 𝑚 𝑖 ⨄ 𝑗 = 1 𝐸 𝑖, 𝑗 = 𝑚 1 ⨄ 𝑗 1 = 1 \dots 𝑚 𝑛 ⨄ 𝑗 𝑛 = 1 𝑛 ⋂ 𝑖 = 1 𝐸 𝑖, 𝑗 𝑖,$ 这是 $S$ 中 $𝑚 1 \dots 𝑚 𝑛$ 个两两不相交元素的并，因此 $𝐸 𝑐 \in B$ ．

综上所述 $B$ 是代数．