集合函数

2026/1/28

集合函数

如引言所述，测度的定义域是集合系——集合的集合，这样的函数称为集合函数（set function）．本节我们研究集合函数的性质．

定义 1 设 $Ω$ 是集合， $C \subseteq 𝒫 (Ω)$ ， $\emptyset \in C$ ， $𝜇 : C \to [0, \infty]$ ．

我们称 $𝜇$ 是可加的（additive），若

$𝜇 (\emptyset) = 0$ ；
对任意两两不相交的有限多个集合 $𝐸 1, \dots, 𝐸 𝑛 \in C$ 而言，当 $⨄ 𝑛 𝑖 = 1 𝐸 𝑖 \in C$ 时都有 $𝜇 (𝑛 ⨄ 𝑖 = 1 𝐸 𝑖) = 𝑛 \sum 𝑖 = 1 𝜇 (𝐸 𝑖) .$

我们称 $𝜇$ 是 $𝝈$ 可加的（或可列可加的， $𝜎$ -additive），若

$𝜇 (\emptyset) = 0$ ；
对任意两两不相交的可数多个集合 $𝐸 1, 𝐸 2, \dots \in C$ 而言，当 $⨄ \infty 𝑖 = 1 𝐸 𝑖 \in C$ 时都有 $𝜇 (\infty ⨄ 𝑖 = 1 𝐸 𝑖) = 𝑛 \sum 𝑖 = 1 𝜇 (𝐸 𝑖) .$

$𝜎$ 可加的集合函数 $𝜇 : C \to [0, \infty]$ 也称为 $C$ 上的测度（measure）．

显然 $𝜎$ 可加的集合函数是可加的．事实上，若 $\emptyset$ 在 $𝜇$ 的定义域中，则当 $𝜇$ 可加时对所有 $𝐴 \in C$ 都有

𝜇 (𝐴) = 𝜇 (𝐴) + 𝜇 (\emptyset) .

因此除非 $𝜇$ 是常值函数 $\infty$ ，否则必然有 $𝜇 (\emptyset) = 0$ ．

我们给出可加函数（在一定条件下的）的单调性与可减性．

命题 1 设 $Ω$ 是集合， $C \subseteq 𝒫 (Ω)$ ， $𝜇 : C \to [0, \infty]$ 是可加的．若 $𝐴, 𝐵 \in C$ 、 $𝐴 \subseteq 𝐵$ 且 $𝐵 ∖ 𝐴 \in C$ ，则 $𝜇$ 满足单调性，即 $𝜇 (𝐴) \leq 𝜇 (𝐵)$ ．若进一步有 $𝜇 (𝐴) < \infty$ ，则 $𝜇$ 满足可减性：

𝜇 (𝐵 ∖ 𝐴) = 𝜇 (𝐵) - 𝜇 (𝐴) .

证明由 $𝐴 \subseteq 𝐵$ 得到

𝐵 = 𝐴 ⊎ (𝐵 ∖ 𝐴),

因此

𝜇 (𝐵) = 𝜇 (𝐴) + 𝜇 (𝐵 ∖ 𝐴) .

由于 $𝜇 \geq 0$ ， $𝜇 (𝐵) \geq 𝜇 (𝐴)$ ．

若 $𝜇 (𝐴) \neq \infty$ ，则移项后得到

𝜇 (𝐵 ∖ 𝐴) = 𝜇 (𝐵) - 𝜇 (𝐴) .

如果 $C$ 对集合差运算封闭（例如 $C$ 为代数），则其上的可加集合函数必然有单调性，即对所有的 $𝐴, 𝐵 \in C$ 都有

𝐴 \subseteq 𝐵 ⟹ 𝜇 (𝐴) \leq 𝜇 (𝐵) .

对任意集合 $𝐴 \subseteq Ω$ ，定义指示函数（indicator function） $1 𝐴 : Ω \to {0, 1}$ 为

1 𝐴 (𝑥) : = {0, 𝑥 \notin 𝐴, 1, 𝑥 \in 𝐴 .