引言：不可测集

在一维空间 ℝ 中，集合有“长度”的概念．对任意满足 𝑎 <𝑏 的实数 𝑎,𝑏 ∈ℝ，直觉上区间 (𝑎,𝑏)、(𝑎,𝑏]、[𝑎,𝑏) 和 [𝑎,𝑏] 的长度都是 𝑏 −𝑎．在二维空间 ℝ2 中，集合有“面积”的概念，其中正方形 [0,1] ×[0,1] 的面积是 1．与之类似，三维空间 ℝ3 中也有“体积”的概念．

对任意集合 Ω，我们可以定义一个函数 𝜇，它将某些子集 𝐴 ⊆Ω 映射为 [0,∞] 中的实数或无穷大，作为对 𝐴 的某种性质的测量，并称 𝜇 为测度（measure）．长度、面积和体积分别是 ℝ、ℝ2 和 ℝ3 上的测度值．我们将 ℝ 上测量长度的测度记作 𝜆，其定义域记作 F．要严格定义 𝜆 是非常困难的，这是后续正文的目标之一．不过根据几何直觉，𝜆 应当满足以下性质：

• 𝜆(∅) =0；
• 对所有的 𝑎,𝑏 ∈ℝ 而言，当 𝑎 <𝑏 时都有 𝜆((𝑎,𝑏]) =𝑏 −𝑎；
• (平移不变性) 对所有 𝐴 ∈F 和 𝑥 ∈ℝ 都有 𝜆(𝐴 +𝑥) =𝜆(𝐴)，其中𝐴+𝑥:={𝑎+𝑥|𝑎∈𝐴}.
• (可列可加性) 对所有两两不相交的 𝐴1,𝐴2,⋯ ∈F 都有𝜆(∞⨄𝑖=1𝐴𝑖)=∞∑𝑖=1𝜆(𝐴𝑖),其中 ⊎ 与 ∪ 一样表示集合的并，但此时强调所有涉及的集合是两两不相交的．这里“两两不相交”指的是对任意不同的指标 𝑖 ≠𝑗 都有 𝐴𝑖 ∩𝐴𝑗 =∅．

可列可加性是平面几何中面积割补法的基础．

根据几何直觉，我们有理由相信这样的 𝜆 是存在的，否则平面几何就会有问题．于是我们自然会想：𝜆 的定义域是否包括所有 ℝ 的子集？也就是是否所有 ℝ 的子集都可以测量出长度？本节我们证明（在接受选择公理的前提下）这是不可能的，因此存在不可测集．

对任意集合 Ω，我们用 𝒫(Ω) 表示其幂集——所有 Ω 的子集构成的集合．假设存在函数 𝜆 :𝒫(ℝ) →[0,∞] 满足前文所列出的四条性质，我们来导出矛盾．我们首先给出 𝜆 的单调性．

断言 若 𝐴 ⊆𝐵 ⊆ℝ，则 𝜆(𝐴) ≤𝜆(𝐵)．

证明 由 𝐴 ⊆𝐵 可得

𝐵=𝐴⊎(𝐵∖𝐴),

若令 𝐸1 =𝐴，𝐸2 =𝐵 ∖𝐴，𝐸𝑖 =∅ (𝑖 ≥3)，则

𝜆(𝐵)=𝜆(∞⨄𝑖=1𝐸𝑖)=∞∑𝑖=1𝜆(𝐸𝑖)=𝜆(𝐴)+𝜆(𝐵∖𝐴).

由于 𝜆 ≥0，𝜆(𝐵) ≥𝜆(𝐴)．

为了构造不可测集，我们定义 ℝ 上的关系：

𝑥∼𝑦  :⟺𝑥−𝑦∈ℚ,

其中 𝑥,𝑦 ∈ℝ．任意实数 𝑥 的等价类记作

[𝑥]:={𝑦∈ℝ|𝑥∼𝑦}.

断言 对任意 𝑥 ∈ℝ 而言，[𝑥] 都与区间 (0,1) 相交．

证明 

• 若 𝑥 是整数，则 0 ∈[𝑥]，故 0.1 ∈[𝑥]．
• 若 𝑥 不是整数，则其小数部分 𝑥 −⌊𝑥⌋ ∈(0,1)．

我们从每个等价类中取出一个 (0,1) 中的元素构成集合 Ω ⊆(0,1)．这意味着 Ω 中不同的元素来自于不同的等价类．

断言 若 𝑝,𝑞 ∈ℚ，则要么 Ω +𝑝 =Ω +𝑞，要么 Ω +𝑝 与 Ω +𝑞 不相交．

证明 若 Ω +𝑝 和 Ω +𝑞 相交，则可从中取出一个元素 𝑥．换言之，存在 𝑥 ∈Ω 以及相应的 𝛼,𝛽 ∈Ω 使得

𝑥=𝛼+𝑝=𝛽+𝑞.

于是 𝑥 ∼𝛼 且 𝑥 ∼𝛽，从而 𝛼 ∼𝛽．由于 Ω 中不同的元素来自不同的等价类，这只可能有 𝛼 =𝛽，从而 𝑝 =𝑞．

定义

Φ:=⨄𝑞∈ℚ−1<𝑞<1(Ω+𝑞),

它是可数个两两不相交集合的并．显然 Φ ⊆( −1,2) ⊆( −1,2]，于是

𝜆(Φ)≤𝜆((−1,2])=3.

根据 𝜆 的可列可加性与平移不变性可得

𝜆(Φ)=∑𝑞∈ℚ−1<𝑞<1𝜆(Ω+𝑝)=∑𝑞∈ℚ−1<𝑞<1𝜆(Ω)≤3.

常数列构成的级数收敛，这意味着 𝜆(Ω) =0，从而 𝜆(Φ) =0．然而下面的断言表明这是不可能的．

断言 (0,1) ⊆Φ

证明 对任意 𝑥 ∈(0,1)，唯一存在 𝛼 ∈[𝑥] ∩Ω ⊆(0,1)．定义

𝑞:=𝑥−𝛼∈ℚ,

则 −1 <𝑞 <1，因此 𝑥 =𝛼 +𝑞 ∈Φ．

根据以上断言可得 (0,1/2] ⊆Φ，因此 1/2 ≤𝜆(Φ)，这与 𝜆(Φ) =0 矛盾．这表明定义域 𝒫(ℝ) 过大，必须附加额外条件以确定哪些集合是可测量的．