典范分解与拉格朗日定理

本节探索商群的各种性质．

典范分解

与集合函数的典范分解类似，群同态也有相应的分解．

定理 1 任意群同态 $\phi :G\to G^{\prime }$ 都有以下交换图所示的分解：

其中 $\pi$ 是商同态，$\tilde{\phi }$ 是 $\phi$ 导出的群同态

$$\tilde{\phi }(g\ker \phi ):=\phi (g),$$

$i$ 是包含映射．这一分解称为群同态的典范分解（canonical decomposition）．

读者应当清楚前几节中已经给出了证明该定理的所有信息．由于 $G/\ker \phi \cong \mathrm{im}(\phi )\subseteq G^{\prime }$，我们可以直接将 $G/\ker \phi$ 视作 $G^{\prime }$ 的子群．特别地：

推论 2 设 $\phi :G\to G^{\prime }$ 是群同态且是满射，则

$$G^{\prime }\cong \frac{G}{\ker \phi }.$$

证明 在典范分解中令 $\mathrm{im}(\phi )=G^{\prime }$ 即可．

命题 3 设 $H_1\subseteq G_1$ 与 $H_2\subseteq G_2$ 都是正规子群，则 $H_1\times H_2$ 是 $G_1\times G_2$ 的正规子群，且

$$\frac{G_1\times G_2}{H_1\times H_2}\cong \frac{G_1}{H_1}\times \frac{G_2}{H_2}.$$

证明 对于投影函数

$${\pi }_1:G_1\times G_2\to G_1,{\pi }_2:G_1\times G_2\to G_2,$$

由于群同态的典范分解中的商同态是满射，将其复合后可以把投影函数扩展为

$${\pi }_1:G_1\times G_2\to \frac{G_1}{H_1},{\pi }_2:G_1\times G_2\to \frac{G_2}{H_2},$$

进而得到群同态

$$\pi :={\pi }_1\times {\pi }_2:G_1\times G_2\to \frac{G_1}{H_1}\times \frac{G_2}{H_2}.$$

其显式表达式为

$$\pi (g_1,g_2)=(g_1{H}_1,g_2,H_2).$$

由于 $\pi$ 是满射，且

$$\begin{array}{rl}\ker \pi & =\{(g_1,g_2)\in G_1\times G_2|(g_1{H}_1,g_2{H}_2)=(H_1,H_2)\}\\ & =\{(g_1,g_2)\in G_1\times G_2|g_1\in H_1,g_2\in H_2\}\\ & =H_1\times H_2,\end{array}$$

我们有

$$\frac{G_1\times G_2}{H_1\times H_2}=\frac{G_1\times G_2}{\ker \pi }\cong \frac{G_1}{H_1}\times \frac{G_2}{H_2}.$$

例 1 特别地，取 $H_1=\{e_{G_1}\}\subseteq G_1$ 和 $H_2=G_2$，我们得到

$$\frac{G_1\times G_2}{G_2}\cong \frac{G_1\times G_2}{\{e_{G_1}\}\times G_2}\cong \frac{G_1}{\{e_{G_1}\}}\times \frac{G_2}{G_2}\cong G_1.$$

在循环群中，对任意正整数 $m$ 和 $n$，当 $\gcd (m,n)=1$ 时我们有 $C_m\times C_n\cong C_{mn}$，此时

$$\frac{G_{mn}}{C_n}\cong \frac{C_m\times C_n}{C_n}\cong C_m.$$

例 2 平面上的单位圆 $S^1$ 可与 $[0,1)$ 建立一一对应关系（我们将其视作同一对象），其中任意 $x\in [0,1)$ 可表示从 $x$ 开始逆时针旋转过的比例，也就是所对应弧度除以 $2\pi$．进一步，我们可以建立群同态

$$\rho :\mathbb{R}\to S^1,$$

它将任意弧度（除以 $2\pi$ 后）映射到 $S^1$ 上的一个点，换言之所有小数部分相同的实数都会映射到同一个点，这就说明差值为整数的输入会映射到同一个点（也就是相差整数倍圆周的弧度会映射到同一个 $S^1$ 上的点）．显然

$$\ker \rho =\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R},$$

因此

$$\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}}\cong S^1.$$

事实上 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的含义就是将所有相差整数的元素对等起来，于是自然同构于 $[0,1)$．

群展示

对任意群 $G$，我们都能找到一个从自由群到 $G$ 的满射（至少存在满射 $F(G)\twoheadrightarrow G$）．一般地，如果存在集合 $A$ 使得

$$G\cong \frac{F(A)}{R},$$

其中 $R$ 是 $F(A)$ 的一个正规子群，则称这个同构是 $G$ 的一个展示（presentation，也称为表示）．由于在群论中正规子群是与核等价的概念，我们也可以称一个满射的群同态

$$\rho :F(A)\twoheadrightarrow G$$

为 $G$ 的一个展示，其中 $\ker \rho =R$．

当 $A$ 很小时，展示是描述群的一种绝佳手段．由于 $\rho$ 是群同态，实际上 $\rho$ 只需要对 $F(A)$ 中的字母赋值就能被唯一确定，而 $\ker \rho$ 是其中所有映射到 $e_G$ 的元素，因此要确定群 $G$ 的展示，就是要确定

• 所有字母的值；
• 所有映射到 $e_G$ 的元素．

事实上我们只需要找与 $G$ 同构的结构（而不是完全相同），“所有字母的值”也是不必要的．

以 $S_3$ 为例，我们曾取出其中的两个特定元素

$$x=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),$$

它们满足 $x^2=y^3=e$ 以及 $yx=x{y}^2$，并且所有其他元素都可以用 $x$ 与 $y$ 以及这三条关系式确定．显式地说我们有

$$S_3=\{e,y,y^2,x,xy,x{y}^2\}.$$

由 $x^2=y^3=e$ 可知 $x^{-1}=x$ 且 $y^{-1}=y^2$，于是 $yx=x{y}^2$ 可以等价地改写为

$$e=x^{-1}(yx)y^{-2}=x(yx)y^4=xyxy.$$

据此我们可以构建一个群同态 $F(\{x,y\})\twoheadrightarrow S_3$，它满足 $x^2=y^3=xyxy=e$．

一般地，我们用 $A$ 上的单词集 $\mathcal{R}:=\ker \rho$ 描述群展示，记作 $(A\mid \mathcal{R})$．例如 $S_3$ 的结构就可以记作 $(x,y\mid x^2,y^3,xyxy)$．$F(A)$ 可以描述为 $(A\mid \varnothing )$．

群展示论是一个可以独立研究的领域，我们在此只做简要了解，不过多深入．一般而言，给定两个不同的群展示，其是否诱导出相同的群结构是不可判定的．

商群的子群

商群 $G/H$ 上的（包含关系所确定的）格结构可直接从 $G$ 的格结构中复制出来，只需筛选以 $H$ 为端点的格．

例 3 考虑循环群 $C_{12}\cong \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$，它的所有子群具有下图左侧的格结构（这些子群均由其生成元表示）．选择正规子群 $H:=⟨[6]⟩\cong C_2$ 后，$C_{12}/H$ 的子群具有下图右侧的格结构．

$C_{12}/C_2\cong C_6$ 的格结构与 $C_{12}$ 的子结构一致．

我们将这一性质一般化．注意对任意群 $G$ 的子群 $H$ 与 $K$，若 $H$ 是 $G$ 的正规子群且 $H\subseteq K$，则 $H$ 是 $K$ 的正规子群，也就是说有 $G/H$ 就必然有 $K/H$．

命题 4 设 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，则对任意 $G$ 的子群 $K$，只要 $H\subseteq K$，那么 $K/H$ 就能一一对应到 $G/H$ 的某个子群，这个对应法则是

$$\begin{array}{c}u:\{K|K\text{是}G\text{的子群且}H\subseteq K\}\to \{G/H\text{的子群}\},\\ K\mapsto K/H,\end{array}$$

它是双射且保持包含关系．

在前一例子中，$G=C_{12}$，$H=⟨[6]⟩\cong C_2$，$K$ 为 $C_{12}$ 的子群中包含 $[6]$ 的子群．

证明 $K/H$ 的元素是形如 $aH$ 的陪集（$a\in K$），因此可以视作 $G/H$ 的子群．

对任意 $G$ 的子群 $L$，若 $H\subseteq K\subseteq L$，则 $u(K)=K/H\subseteq L/H=u(L)$，因此 $u$ 保持包含关系．

下面验证 $u$ 是双射，为此只需找到一个逆映射．对于典范投影 $\pi :G\to G/H$ 以及任意 $G/H$ 的子群 $K^{\prime }$，我们有

$$K:={\pi }^{-1}(K^{\prime })=\{a\in G|aH\in K^{\prime }\},$$

它是 $G$ 的一个子群．由于 $H={\pi }^{-1}(e)$ 且 $e\in K^{\prime }$，我们有 $H\subseteq K$，因此 $v:={\pi }^{-1}$ 是一个形如

$$\{G/H\text{的子群}\}\to \{K|K\text{是}G\text{的子群且}H\subseteq K\}$$

的映射。下面只需证明 $v$ 是 $u$ 的逆．

一方面，对任意包含 $H$ 的子群 $K$ 有

$$\begin{array}{rl}v(u(K))={\pi }^{-1}(K/H)& =\{a\in G|aH\in K/H\}\\ & =\{a\in G|aH=kH,k\in K\}\\ & =\{a\in G|a\in kH,k\in K\}\\ & =KH=K,\end{array}$$

另一方面对任意 $G/H$ 的子群 $K^{\prime }$ 有

$$\begin{array}{rl}u(v(K^{\prime }))& =u({\pi }^{-1}(K^{\prime }))\\ & =u(\{a\in G|aH\in K^{\prime }\})\\ & =\{aH|a\in G,aH\in K^{\prime }\}\\ & =K^{\prime }.\end{array}$$

故 $u$ 与 $v$ 互逆，从而 $u$ 是双射．

命题 5（群同构第三定理） 设 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，$N$ 是 $G$ 的子群且 $H\subseteq N$，则 $N/H$ 是 $G/H$ 的正规子群当且仅当 $N$ 是 $G$ 的正规子群，且此时

$$\frac{G/H}{N/H}\cong \frac{G}{N}.$$

证明 设 $N$ 是正规子群，考虑投影

$$G\to \frac{G}{N},$$