子群

Rehnertz2025/10/15

子群

子群的定义

设 $(G, \cdot)$ 是群， $(H, ∙)$ 是另一个群，且 $H \subseteq G$ ．

定义 1 若包含映射 $i : H ↪ G$ 是群同态，则称 $(H, ∙)$ 是 $(G, \cdot)$ 的子群（subgroup）．

事实上，若 $H$ 是 $G$ 的子群，则对任意 $h_{1}, h_{2} \in H$ 有

i (h_{1} ∙ h_{2}) = i (h_{1}) \cdot i (h_{2}) = h_{1} \cdot h_{2},

也就是说子群的运算 $∙$ 本质上和 $\cdot$ 是一样的．换言之，子群就是在相同的群运算下仍然保持群结构的子集，故我们今后统一群和子群的运算符号．出于同样的原因，元素的逆在群与子群之间也是一致的．

若要 $H$ 是 $G$ 的子群，对任意 $h \in H$ ，由群的性质 $h^{- 1} \in G$ ，因此 $e_{G} = h h^{- 1} \in H$ ．这意味着子群的单位元也是一致的，可不加区分．

综上所述，要确认 $H$ 为 $G$ 的子群，只需要验证 $H$ 本身构成一个群：包含单位元和所有 $H$ 中元素的逆，且对群运算封闭．

命题 1 设 $H$ 是非空集合， $G$ 是群， $H \subseteq G$ ，则 $H$ 是 $G$ 的子群当且仅当

\forall a, b \in H : a b^{- 1} \in H .

证明若 $H$ 是 $G$ 的子群则命题显然成立．

设对任意 $a, b \in H$ 都有 $a b^{- 1} \in H$ ．

对于单位元，由于 $H$ 非空，可取 $h \in H$ ，故 $e = h h^{- 1} \in H$ ．
对于逆，对任意 $h \in H$ 有 $h^{- 1} = e h^{- 1} =\in H$ ．
对于群运算，对任意 $h_{1}, h_{2} \in H$ 有 $h_{1} h_{2} = h_{1} ((h_{2})^{- 1})^{- 1} \in H .$

综上所述， $H$ 是 $G$ 的子群．

引理 2 设 $G$ 是群， ${H_{α}}_{α \in A}$ 是任意一族 $G$ 的子群（ $A$ 是任意指标集），则这一族子群的交

H := α \in A ⋂ H_{α}

依然是 $G$ 的子群．

证明显然 $e \in H$ ，故 $H$ 非空．对任意 $a, b \in H$ ，

⟹ ⟹ ⟹ a, b \in H \forall α \in A : a, b \in H_{α} \forall α \in A : a b^{- 1} \in H_{α} a b^{- 1} \in H,

由前一命题得证．

引理 3 设 $φ : G \to G^{'}$ 为群同态， $H^{'}$ 是 $G^{'}$ 的子群，则 $φ^{- 1} (H^{'})$ 是 $G$ 的子群．

证明由于 $φ (e_{G}) = e_{G^{'}} \in H^{'}$ ， $φ^{- 1} (H^{'})$ 非空．任取 $a, b \in φ^{- 1} (H^{'})$ ，则 $φ (a), φ (b) \in H^{'}$ ，于是

φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} \in H^{'},

故 $a b^{- 1} \in φ^{- 1} (H^{'})$ ，从而 $φ^{- 1} (H^{'})$ 是 $G$ 的子群．

例子：核与像

对任意群同态 $φ : G \to G^{'}$ ，我们有两个重要的子群：

$φ$ 的核： $ker φ \subseteq G$ ；
$φ$ 的像： $im (φ) \subseteq G^{'}$ ．

定义 2 群同态 $φ : G \to G^{'}$ 的核（kernel）为所有映射到 $G^{'}$ 单位元的元素构成的集合，即

ker φ := φ^{- 1} (e_{G^{'}}) = {g \in G ∣ φ (g) = e_{G^{'}}} .

由于 ${e_{G^{'}}}$ 是 $G^{'}$ 的（平凡）子群， $ker φ$ 是 $G$ 的子群．我们也很容易验证 $im (φ)$ 是 $G^{'}$ 的子群．核是一类很特殊的子群，它在群论中有重要作用，我们会在学习商群后深入这一点．

事实上，核也可以用泛性质来定义．

命题 4 设 $φ : G \to G^{'}$ 是群同态， $i : ker φ ↪ G$ 是包含映射 $g \mapsto g$ ．对于全体形如 $α : K \to G$ （其中 $K$ 是任意群）且满足 $φ \circ α$ 是平凡映射（记作 $0$ ）的群同态 $α$ 构成的范畴， $i$ 是其中的始对象．

上述命题可用以下交换图描述：

证明对上图中的任意 $α$ ，若存在相应的 $\overline{α}$ ，则对任意 $k \in K$ 有

α (k) = i (\overline{α} (k)) = \overline{α} (k),

因此若存在则只可能 $\overline{α} = α$ ．而 $α$ 本身就是这个范畴里的群同态， $\overline{α} := α$ 确实使得上图交换．

例子：从子集生成子群

设 $G$ 是群， $A \subseteq G$ 是任意 $G$ 的子集．根据自由群的泛性质，我们有唯一的群同态

φ_{A} : F (A) \to G

扩展包含映射 $i : A \to G$ （将 $A$ 中的“字母”与 $F (A)$ 中长度为一的“单词”对等，即 $A \subseteq F (A)$ ），该群同态 $φ_{A}$ 的像称为 $A$ 在 $G$ 中所生成（generate）的子群，记作 $⟨ A ⟩$ ．若 $G$ 是阿贝尔群，则可将 $F (A)$ 替换为 $F^{ab} (A) ≅ Z^{\oplus A}$ ．

根据自由群的构造， $⟨ A ⟩$ 中的元素可如下描述为 $G$ 中所有的有限个元素乘积：

a_{1} a_{2} \dots a_{n},

其中 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 都是 $A$ 中的元素或 $A$ 中元素的逆．换言之 $⟨ A ⟩$ 是群运算的“闭包”，恰好包含了所有 $A$ 中元素的乘积．所谓“恰好”亦即包含 $A$ 的最小子群：

⟨ A ⟩ = H 为 G 的子群, H \supseteq A ⋂ H .

若 $A$ 为有限集 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ ，则记 $⟨ a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} ⟩ := ⟨ A ⟩$ ．

对于单元素集合 $A = ⟨ g ⟩$ ，我们曾证明 $F (A) = Z$ ，而相应的 $φ_{A} : Z \to G$ 就是指数映射 $ϵ_{g}$ ，其像为

⟨ g ⟩ = im (g) = {\dots, g^{- 2}, g^{- 1}, e, g, g^{2}, \dots} .

上述子群是由 $g$ 生成的循环群（读者应当可以自行验证：一个群是循环群当且仅当它可由一个元素生成）．

定义 3 设 $G$ 是群， $A \subseteq G$ ．若 $A$ 是有限集且 $⟨ A ⟩ = G$ ，则称 $G$ 是有限生成的（finitely generated）．

显然群 $G$ 是有限生成的当且仅当存在某个正整数 $n$ 以及相应的满射

F ({1, \dots, n}) ↠ G .

例子：循环群的子群

循环群（在同构意义上）包括无限循环群 $Z$ 与有限循环群 $Z / n Z$ ，我们首先考察 $Z$ 的所有子集．

为方便，我们用 $d Z$ 表示 $d$ 与所有整数相乘的结果，即

d Z := ⟨ d ⟩ = {d k ∣ k \in Z} .

换言之， $d Z$ 包含所有 $d$ 的倍数．

命题 5 若 $G \subseteq Z$ 是子群，则存在某个非负整数 $d$ 使得 $G = d Z$ ．

证明若 $G$ 为平凡子群 ${0}$ ，则 $G = 0 Z$ ．

若 $G$ 不为平凡子群，则其必然包含正整数（因为群包含逆）．我们取 $G$ 中的最小正整数为 $d$ ．显然 $d Z \subseteq G$ ．

对任意 $m \in G$ ，根据带余除法我们有整数 $q, r \in Z$ 使得

m = d q + r, 0 \leq r < d .

由于 $m, d q \in G$ ， $r = m - d q \in G$ ．又 $r < d$ ，根据 $d$ 的最小性，只可能有 $r = 0$ ，故 $m = d q \in d Z$ ．因此 $G \subseteq d Z$ ，从而得到 $G = d Z$ ．

下面我们考察有限循环群 $Z / n Z$ 的子群．

命题 6 设 $G \subseteq Z / n Z$ 是子群，则存在 $n$ 的一个因数 $d$ 使得 $G$ 是由 $[d]_{n}$ 生成的循环群．

证明设 $π_{n} : Z \to Z / n Z$ 为商映射

a \mapsto [a]_{n} .

考虑 $G^{'} := π_{n}^{- 1} (G)$ ，它是 $Z$ 的子群，故是一个循环群．不妨设有非负整数 $d$ 使得 $G^{'} = d Z$ ，则

G = π_{n} (G^{'}) = π_{n} (⟨ d ⟩) = ⟨[d]_{n} ⟩ .

由于 $π_{n} (n) = [n]_{n} = [0]_{n} \in G$ ， $n \in G^{'} = d Z$ ，因此 $d$ 是 $n$ 的因数．

上述命题能够推出 $Z / n Z$ 与 $n$ 的因数之间的双射．例如，对于 $Z /12 Z$ 而言，它有 $6$ 个正因数 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ ，对应了所有的 $6$ 个子群：

⟨[1]_{12} ⟩ ⟨[2]_{12} ⟩ ⟨[3]_{12} ⟩ ⟨[4]_{12} ⟩ ⟨[6]_{12} ⟩ ⟨[12]_{12} ⟩ = {[0]_{12}, [1]_{12}, [2]_{12}, [3]_{12}, [4]_{12}, [5]_{12}, [6]_{12}, [7]_{12}, [8]_{12}, [9]_{12}, [10]_{12}, [11]_{12},}, = {[0]_{12}, [2]_{12}, [4]_{12}, [6]_{12}, [8]_{12}, [10]_{12}}, = {[0]_{12}, [3]_{12}, [6]_{12}, [9]_{12}}, = {[0]_{12}, [4]_{12}, [8]_{12}}, = {[0]_{12}, [6]_{12}}, = {[0]_{12}} .

由于对任意 $n$ 的因数 $d_{1}$ 与 $d_{2}$ 而言，若 $d_{1} ∣ d_{2}$ 则 $⟨[d_{1}]_{n} ⟩ \supseteq ⟨[d_{2}]_{n} ⟩$ ，所有 $Z / n Z$ 的子群（连同包含关系）可以如同整除关系那样构成一个格．例如，下图展示了 $Z /6 Z$ 上的格结构．

研究循环群的子群能够推出数论中非常漂亮的一些性质．

例 1 设 $m$ 是正整数，我们用 $ϕ (m)$ 表示与 $m$ 互素的正整数的个数——即满足 $g cd (r, m) = 1$ ( $r \leq m$ ) 的正整数 $r$ 的个数，该函数称为欧拉 $ϕ$ 函数（Euler's $ϕ$ -function）．

显然 $ϕ (m)$ 的值就是乘法群 $(Z / m Z)^{*}$ 的元素个数．又 $[a]_{m}$ 生成 $Z / m Z$ 当且仅当 $g cd (a, m) = 1$ ， $ϕ (m)$ 也是 $C_{m}$ 的生成元的个数．

根据前面的讨论， $C_{n}$ 的所有子群都是循环群，其阶整除 $n$ ，因此

m > 0, m ∣ n \sum ϕ (m)

是所有 $C_{n}$ 的子群的生成元个数之和．由于 $C_{n}$ 中的每个元素都能生成其一个子群，它们都是某个子群的生成元，从而生成元个数就是 $C_{n}$ 的元素个数，即

m > 0, m ∣ n \sum ϕ (m) = n .