自由群

动机

构造自由群的动机在于：给定任意集合 $A$，若其没有任何特殊的群结构，如何得到包含 $A$ 的一个群？例如，当 $A$ 为单元素集 $\{a\}$ 时，若不附加任何特殊性质，我们能够（非正式地）构建出一个无限循环群

$$⟨a⟩:=\{\dots ,a^{-2},a^{-1},a^0=e,a^1=a,a^2,a^3,\dots \}.$$

映射

$${ϵ}_a:\mathbb{Z}\to ⟨a⟩,n\mapsto a^n$$

是群同构（这里“无特殊性质”指的是不同次数的乘法结果都不一样）．

类似地，对于二元素集合 $A=\{a,b\}$，我们能想象如此构造出来的群为

$$⟨a,b⟩:=\{\cdots ,a^{-2},a^{-1}{b}^{-1},b^{-1}{a}^{-1},b^{-2},a^{-1},b^{-1},e,a,b,a^2,ab,ba,b^2,\dots \}.$$

我们将一般的集合 $A$ 所生成的自由群记作 $F(A)$．上述构造 $F(A)$ 的思路是比较符合直觉的，可简单描述为 $A$ 中元素的任意拼接，但要将其用数学语言严格描述并没有那么简单．用于定义自由群的最合适的方法是使用泛性质．

泛性质

给定集合 $A$，我们考虑这样一个范畴 ${\mathcal{F}}^A$，其中的对象是形如 $j:A\to G$ 的从 $A$ 出发的集合函数——这里 $G$ 是任意群．对任意 $j_1:A\to G_1$ 和 $j_2:A\to G_2$，其间的态射定义为群同态 $\phi :G_1\to G_2$，其使得下图交换：

换言之 $j_2=\phi \circ j_1$．

注意对象 $j_1,j_2$ 是集合函数，而态射 $\phi$ 是群同态．

如果存在一个群 $F(A)$ 以及一个与之关联的映射 $j:A\to F(A)$ 使得 $j$ 是 ${\mathcal{F}}^A$ 中的始对象——即对任意群 $G$ 和 $f:A\to G$，使下图交换的 $\phi$ 唯一：

则称 $F(A)$ 是 $A$ 所生成的自由群（free group）．

我们来验证这种定义与前文动机的联系．这里函数 $j$ 实际上能在某种程度上视作包含映射：我们将 $F(A)$ 视作比 $A$ 更大的集合，用以包含 $A$ 中所有元素的拼接．由于我们不希望 $A$ 上具有特殊的群结构，我们就用 $j$ 将其映射到一个有最一般的群结构的群上．

我们可以将 $A$ 中的元素看作字母（letter），而 $F(A)$ 中的元素是若干字母的拼接——即单词（word）．函数 $j$ 则将字母映射为长度为 $1$ 的单词．函数 $f$ 为每个字母赋予一个值，则群同态 $\phi$ 利用 $f$ 的信息为单词赋值．举个简单的例子，若 $A=\{a,b\}$ $(a\ne b)$，$G=\mathbb{Z}$，$f(a)=1$，$f(b)=2$，则群同态 $\phi$ 可以为单词 $ab$ 赋值

$$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)=f(a)f(b).$$

这里 $\phi$ 与 $f$ 对于字母（长度为 $1$ 的单词）具有相同映射规则．

对于单元素集合 $A=\{a\}$，我们能够很轻易地想到 $F(A)=\mathbb{Z}$，此时 $j(a):=1$（对应 $a^1$），而任意 $n\in \mathbb{Z}$ 用于对应 $a^n$（尽管严格来说 $A$ 上并没有乘法运算）．此时若群同态 $\phi$ 存在，则 $f=\phi \circ j$，因此 $f(a)=\phi (1)$．由于 $\phi$ 是群同态，对任意 $n\in \mathbb{Z}$ 都有

$$\phi (n)=n\phi (1)=nf(a),$$

而且容易验证如上定义的 $\phi$ 确实满足条件．

具体构造

基于字母与单词的思想，我们给出一个自由群的构造．对任意集合 $A$，我们构造一个与之同构但不相交的 $A^{\prime }$——方法有很多，例如 $a\mapsto (a,a)$——并将 $a\in A$ 的像记作 $a^{-1}$．集合 $A$ 与 $A^{-1}$ 中的元素称为字母（letter）．集合 $A$ 上的单词（word）定义为如下的有限长度序列：

$$w:=(a_1,a_2,\dots ,a_n),$$

其中 $n$ 是正整数，$a_1,a_2,\dots ,a_n\in A\cup A^{\prime }$．为方便起见，我们使用并置（juxtaposition）记号书写单词：

$$w=a_1{a}_2\cdots a_n.$$

我们将全体单词构成的集合记作 $W(A)$．作为上述规则的例外，$W(A)$ 中还包含一个长度为 $0$ 的空单词 $()$．

若 $A=\{a\}$，则 $W(A)$ 中的元素形如 $a^{-1}{a}^{-1}aaa{a}^{-1}a{a}^{-1}$．

若 $A=\{x,y\}$，则 $W(A)$ 中的元素形如 $xx{x}^{-1}y{y}^{-1}xx{y}^{-1}{x}^{-1}y{y}^{-1}x{y}^{-1}x$．

上述记号的书写方式已经暗示了单词是可以规约的，例如 $xy{y}^{-1}x$ 应当能够规约为 $xx$．这是两个不同的单词，但在群同态下的作用效果应该是相同的．要完整描述归约的严格定义会显得很荣誉且愚蠢，我们只给出主要思路．

• 定义一个基础规约（elementary reduction）操作 $r:W(A)\to W(A)$：给定 $w\in W(A)$，从左往右找到其中第一组形如 $a{a}^{-1}$ 或 $a^{-1}a$ 的子单词，将其移除后作为输出．例如

  $$r(a^{-1}\underline{a^{-1}a}aa{a}^{-1}a{a}^{-1})=a^{-1}aa{a}^{-1}a{a}^{-1}.$$

• 若 $r(w)=w$，即 $w$ 中没有任何字母可被删除，则称 $w$ 是既约单词（reduced word）．

我们用取整函数 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．

引理 1 若 $w\in W(A)$ 的长度为 $n$，则 $r^{\lfloor n/2\rfloor }(w)$ 是既约单词．

证明 若 $w$ 不是既约的，则作用 $r$ 后其长度会减少 $2$．由于删除的字母个数不会超过 $n$，实行有删除操作的基础归约的次数不可能超过 $n/2$．

• 定义归约（reduction）操作 $R:W(A)\to W(A)$ 为：

  $$R(w):=r^{\lfloor n/2\rfloor }(w),w\text{的长度为}n.$$

  换言之 $R$ 输出既约单词．

于是，我们可以定义自由群 $F(A)$ 为 $A$ 上所有既约单词构成的集合，即 $R$ 的像集．$F(A)$ 上的群运算定义为单词的既约拼接，其使用并置记号如下定义：对任意 $w,w^{\prime }\in F(A)$，

$$w\cdot w^{\prime }:=R(w{w}^{\prime }).$$

在直觉上很容易验证 $F(A)$ 确实是一个群，我们这里不再过多说明．最后，定义 $j:A\to F(A)$：将字母 $a\in A$ 映射为长度为 $1$ 的单词 $a\in F(A)$．

命题 2 给定集合 $A$，如上定义的函数 $j:A\to F(A)$ 是 ${\mathcal{F}}^A$ 中的始对象．

证明 对任意函数 $f:A\to G$，我们能将其提升为一个集合函数

$$\tilde{\phi }:W(A)\to G,$$

其对任意字母 $a$ 和 $a^{-1}$ 定义为

$$\tilde{\phi }(a):=f(a),\tilde{\phi }(a^{-1}):=f(a{)}^{-1}.$$

同时，我们定义 $\tilde{\phi }$ 对并置是兼容的，即对任意 $w,w^{\prime }\in W(A)$ 有

$$\tilde{\phi }(w{w}^{\prime })=\tilde{\phi }(w)\tilde{\phi }(w^{\prime }).$$

规约操作对于 $\tilde{\phi }$ 而言是不可见的，即

$$\tilde{\phi }(R(w))=\tilde{\phi }(w),$$

因为归约操作删除的都是“互逆”的字母．

若存在满足条件的群同态 $\phi :F(A)\to G$，即 $f=\phi \circ j$，则对任意字母 $a\in A$ 有

$$f(a)=\phi (j(a))=\phi (a).$$

由于 $\phi$ 是群同态，任意既约单词 $w=a_1{a}_2\cdots a_n$ 都满足

$$\phi (w)=\phi (a_1)\phi (a_2)\cdots \phi (a_n)=f(a_1)f(a_2)\cdots f(a_n).$$

我们将上式作为 $\varphi$ 的（唯一）定义．

$\phi$ 与 $\tilde{\phi }$ 在既约单词上是一致的，因此对任意既约单词 $w,w^{\prime }\in F(A)$ 有

$$\phi (w\cdot w^{\prime })=\tilde{\phi }(w\cdot w^{\prime })=\tilde{\phi }(R(w{w}^{\prime }))=\tilde{\phi }(w{w}^{\prime })=\tilde{\phi }(w)\tilde{\phi }(w^{\prime })=\phi (w)\phi (w^{\prime }),$$

故 $\phi$ 确实是群同态．

在实际应用中，我们通常将字母视作长度为一的单词，因此 $A$ 可以视作 $F(A)$ 的子集，$j:A\to F(A)$ 视作包含应映射．

自由阿贝尔群

在 $\mathsf{Ab}$ 中我们也可以用相同的泛性质定义其上的自由群 $F^{ab}(A)$，只不过此时交换图中的 $G$ 是阿贝尔群，而构造的自由群 $F^{ab}(A)$ 也应当是阿贝尔群．

我们首先考虑一个特殊情形：$A=\{1,2,\dots ,n\}$．我们定义

$${\mathbb{Z}}^{\oplus n}:=\underset{n\text{个}\mathbb{Z}}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}},$$

这与 ${\mathbb{Z}}^n$ 是一致的，只不过将其视作阿贝尔群上的余积．定义 $j:A\to {\mathbb{Z}}^{\oplus n}$ 为

$$j(i):=(0,\dots ,0,\underset{\text{第}i\text{个位置}}{1},0,\dots ,0).$$

命题 3 考虑如上定义的 $j:A\to {\mathbb{Z}}^{\oplus n}$，${\mathbb{Z}}^{\oplus n}$ 是 $A:=\{1,2,\dots ,n\}$ 所生成的自由阿贝尔群．

证明 对任意阿贝尔群 $G$ 和函数 $f:A\to G$，若存在群同态 $\phi :{\mathbb{Z}}^{\oplus n}\to G$ 使得 $f=\phi \circ j$，则对任意 $i\in A$ 有

$$f(i)=\phi (j(i)).$$

对任意 $(m_1,\dots ,m_n)\in {\mathbb{Z}}^{\oplus n}$，其都可以写成

$$\sum _{i=1}^n{m}_{i}j(i).$$

由于 $\phi$ 是群同态，

$$\phi (m_1,\dots ,m_n)=\phi \left(\sum _{i=1}^n{m}_{i}j(i)\right)=\sum _{i=1}^n\phi (m_{i}j(i))=\sum _{i=1}^n{m}_i\phi (j(i))=\sum _{i=1}^n{m}_{i}f(i).$$

将上式作为 $\phi$ 的（唯一）定义，我们需要验证它是群同态．对任意 $m^{\prime }:=(m_1^{\prime },\dots ,m_n^{\prime })\in {\mathbb{Z}}^{\oplus n}$ 和 $m^{\prime \prime }:=(m_1^{\prime \prime },\dots ,m_n^{\prime \prime })\in {\mathbb{Z}}^{\oplus n}$，我们有

$$\begin{array}{rl}\phi (m^{\prime })+\phi (m^{\prime \prime })& =\sum _{i=1}^n{m}_i^{\prime }f(i)+\sum _{i=1}^n{m}_i^{\prime \prime }f(i)\\ & =\sum _{i=1}^n(m_i^{\prime }+m_i^{\prime \prime })f(i)\\ & =\phi \left(\sum _{i=1}^n(m_i^{\prime }+m_i^{\prime \prime })j(i)\right)\\ & =\phi (m^{\prime }+m^{\prime \prime }),\end{array}$$

故 $\phi$ 是唯一的群同态．

基于上述思想，对任意（可能不可数的）集合 $A$ 以及阿贝尔群 $H$，定义

$$H^{\oplus A}:=\{\alpha \in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Set}}(A,H)|\text{只有有限个}a\in A\text{使得}\alpha (a)\ne e_H\}.$$

显然 $H^{\oplus A}\subseteq H^A$，且可以验证 ${\mathbb{Z}}^{\oplus n}$ 与 ${\mathbb{Z}}^{\oplus \{1,2,\dots ,n\}}$ 是同构的．

对任意 $a\in A$，定义 $j_a:A\to \mathbb{Z}$ 为

$$j_a(x):=\{\begin{array}{ll}1,& x=a,\\ 0,& x\ne a,\end{array}x\in A.$$

显然 $j_a\in {\mathbb{Z}}^{\oplus A}$．

对于 ${\mathbb{Z}}^{\oplus A}$，定义 $j:A\to {\mathbb{Z}}^{\oplus A}$ 为 $j(a):=j_a$．

命题 4 对于任意集合 $A$ 以及如上定义的 $j$，${\mathbb{Z}}^{\oplus A}$ 是自由阿贝尔群．

证明 只需注意到任意 ${\mathbb{Z}}^{\oplus A}$ 中的元素都能唯一的写成有限加和形式

$$\sum _{a\in A}{m}_{a}j(a),\text{只对有限个}a\text{有}{m}_a\ne 0,$$

然后与 $A=\{1,\dots ,n\}$ 的证明过程完全一致．

实际上 ${\mathbb{Z}}^{\oplus A}$ 就在模拟 $A$ 上有限长的单词，只不过由于阿贝尔群的特性，单词中的每个元素都可以交换顺序，这就恰好能用加法群 $\mathbb{Z}$ 表示．