商群

正规子群

现在我们来研究一类特殊的子群，它与先前提到的核这一概念密切相关．

定义 1 设 $N$ 是群 $G$ 的子群．若对任意 $g\in G$ 和 $n\in N$ 都有

$$gn{g}^{-1}\in N,$$

则称 $N$ 是 $G$ 的正规子群（normal subgroup）．

很显然交换群的任意子群都是正规的，但对于一般的群而言，其子群可能不正规．

例 1 考虑置换群 $S_3$，我们曾讨论过 $S_3\cong D_6$，其中包含 $3$ 个旋转变换（包括旋转角为 $0$ 的恒等变换）与 $3$ 个翻折变换．注意本例采用从左到右的复合顺序．

考虑翻折变换

$$f=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\in S_3$$

与旋转变换

$$r=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\in S_3.$$

我们有子群 $⟨f⟩=\{e,f\}\subseteq S_3$，然而

$$\begin{array}{rl}rf{r}^{-1}& =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)\notin ⟨f⟩,\end{array}$$

故 $⟨f⟩$ 不是正规子群．

事实上确实存在非交换群，其任意子群都是正规的（例如四元数群，如果读者了解的话），但这种群较为罕见．

下面的引理说明了核为什么是一类特殊子群．

引理 1 若 $\phi :G\to G^{\prime }$ 是群同态，则核 $\ker \phi$ 是 $G$ 的正规子群．

证明 我们已经说明过核是子群，因此只需验证其正规性．对任意 $g\in G$ 和 $n\in \ker \phi$，我们有

$$\phi (gn{g}^{-1})=\phi (g)\phi (n)\phi (g{)}^{-1}=\phi (g)e_{G^{\prime }}\phi (g{)}^{-1}=e_{G^{\prime }},$$

因此 $gn{g}^{-1}\in \ker \phi$，故 $\ker \phi$ 是正规子群．

简单地说，上述引理表明“核 $⟹$ 正规”．

为了验证正规性，我们有很多其他等价的方法．我们首先引入元素与群之间的运算．设 $G$ 是群，$A\subseteq G$，$g\in G$，则定义

$$\begin{array}{rl}gA& :=\{ga|a\in A\},\\ Ag& :=\{ag|a\in A\}.\end{array}$$

于是子群 $N\subseteq G$ 的正规性可描述为

$$\forall g\in G:gN{g}^{-1}\subseteq N.$$

命题 2 设 $N$ 是 $G$ 的子群，则以下命题相互等价：

1. $N$ 是 $G$ 的正规子群．
2. $\forall g\in G:gN{g}^{-1}\subseteq N$．
3. $\forall g\in G:gN{g}^{-1}=N$．
4. $\forall g\in G:gN\subseteq Ng$．
5. $\forall g\in G:gN=Ng$．

证明非常简单，留给读者自行验证．

商群

在典范分解中我们曾指出：给定一个函数 $f$ 以及由它确定的等价关系 $\sim$，我们能构造出一个商集．现在我们在群上考虑这样的分解．

首先考虑较为一般的情形．设 $\phi :G\to G^{\prime }$ 是群同态，$\sim$ 是 $G$ 上的任意等价关系．一种很自然的想法是在商集 $G/\sim$ 上定义一个运算 $\bullet$，从而使得 $G/\sim$ 也成为一个群．由于我们在群上考虑问题，我们自然希望商映射 $\pi :G\to G/\sim$，$g\mapsto [g]$ 也是群同态，这就导出

$$[a]\bullet [b]=\pi (a)\bullet \pi (b)=\pi (ab)=[ab].$$

这唯一确定了一个运算 $\bullet$，但它真的是良定义的吗？

命题 3 设 $G$ 是群，$\sim$ 是 $G$ 上的等价关系，则 $G/\sim$ 上的运算

$$[a]\bullet [b]:=[ab]$$

能够定义出 $G/\sim$ 上的一个群结构当且仅当对任意 $a,a^{\prime },g\in G$ 都有

$$a\sim a^{\prime }⟹ga\sim g{a}^{\prime }\text{且}ag\sim a^{\prime }g.$$

此时商映射 $\pi :G\to G/\sim$ 是群同态且关于满足以下条件的群同态 $\phi$ 具有泛性质：群同态 $\phi :G\to G^{\prime }$ 满足 $a\sim a^{\prime }⟹\phi (a)=\phi (a^{\prime })$．

证明 $(⟹)$ 若 $G/\sim$ 确实是群，则 $[a]\bullet [g]=[ag]$ 是良定义的，故对任意 $a\sim a^{\prime }$ 都有

$$[ag]=[a]\bullet [g]=[a^{\prime }]g=[a^{\prime }g],$$

即 $ag\sim a^{\prime }g$．同理可证 $ga\sim g{a}^{\prime }$．

$(⟸)$ 假设对任意 $a,a^{\prime },g\in G$ 都有

$$a\sim a^{\prime }⟹ga\sim g{a}^{\prime }\text{且}ag\sim a^{\prime }g,$$

则运算 $[a]\bullet [b]:=[ab]$ 是良定义的（与前文的验证方法类似）．现在只需验证该运算能够建立 $G/\sim$ 上的群结构．这是显然的，因为容易验证 $[e_G]$ 是运算 $\bullet$ 的单位元，$\bullet$ 结合性自然继承自 $G$，且 $[g]$ 的逆元是 $[g^{-1}]$．根据 $\bullet$ 的定义，$\pi$ 自然是群同构．

下面验证 $\pi$ 的泛性质．对任意群同态 $\phi :G\to G^{\prime }$ 且 $a\sim a^{\prime }⟹\phi (a)=\phi (a^{\prime })$，利用范畴 $\mathsf{Set}$ 上的结论（即典范分解），我们知道唯一存在一个函数

$$\tilde{\phi }:G/\sim \to G^{\prime },$$

满足泛性质，其定义为 $\tilde{\phi }([a])=\phi (a)$，于是我们只需验证它是一个群同态．这是显然的，因为

$$\tilde{\phi }([a]\bullet [b])=\tilde{\phi }([ab])=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)=\tilde{\phi }([a])\tilde{\phi }([b]).$$

对于等价关系 $\sim$，若其满足上述命题中给出的条件，则称之与群 $G$ 是兼容的（compatible）．由于 $\bullet$ 完全由 $G$ 上的运算确定，我们一般也省略该运算符号．此时我们称 $G/\sim$ 为 $G$ 的一个商群（quotient group）．

陪集

等价关系 $\sim$ 与群 $G$ 兼容的条件可细分为：

$$\begin{array}{rlrlr}(†)& & \forall g\in G:& & a\sim b⟹ga\sim gb,\\ (††)& & \forall g\in G:& & a\sim b⟹ag\sim bg.\end{array}$$

我们重点考虑条件 $(†)$，而 $(††)$ 的分析基本一致，只不过运算顺序颠倒．

命题 4 设 $G$ 是群，$\sim$ 是 $G$ 上满足以上 $(†)$ 条件的等价关系，则

• $e_G$ 的等价类 $H$ 是 $G$ 的子群；
• $a\sim b⟺a^{-1}b\in H⟺aH=bH$．

证明 令 $H$ 为 $e_G$ 的等价类．由于 $e_G\in H$，$H\ne \varnothing$，于是要证明 $H$ 是子群，只需证明对任意 $a,b\in H$ 有 $a{b}^{-1}\in H$．$a,b\in H$ 说明 $a\sim e_G\sim b$．根据性质 $(†)$，$e_G\sim b$ 可推出 $a{b}^{-1}\sim a$（左乘 $a{b}^{-1}$），进而 $a{b}^{-1}\sim e_G$，即 $a{b}^{-1}\in H$．

下面证明 $a\sim b⟺a^{-1}b\in H$。若 $a\sim b$，则左乘 $a^{-1}$ 得到 $e_G\sim a^{-1}b$，故 $a^{-1}b\in H$．若 $a^{-1}b\in H$，则 $a^{-1}b\sim e_G$，左乘 $a$ 得到 $b\sim a$，亦即 $a\sim b$．

最后证明 $a^{-1}b\in H⟺aH=bH$．若 $a^{-1}b\in H$，注意到其等价于 $b\in aH$（或 $a\in bH$，因为群对逆运算封闭），因此有 $bH\subseteq (aH)H=aH$ 和 $aH\subseteq (bH)H=bH$，故 $aH=bH$．若 $aH=bH$，则 $H=a^{-1}bH$，进而 $a^{-1}b\in H$．

上述命题表明在满足 $(†)$ 的等价关系上，元素的等价性可以用形如 $aH$ 的集合来描述，其中 $H$ 是单位元的等价类．注意由 $a\sim b⟺aH=bH$ 可知 $aH$ 就是 $a$ 的等价类．

定义 2 设 $H$ 是群 $G$ 的子群．对任意 $a\in G$，称 $aH$ 为 $H$ 的一个左陪集（left-coset），称 $Ha$ 为 $H$ 的一个右陪集（right-coset）．

前一命题的逆命题也成立．

命题 5 设 $H$ 是群 $G$ 的子群．$G$ 上的二元关系 $a{\sim }_{L}b$ 定义为 $a^{-1}b\in H$，则这是 $G$ 上的等价关系且满足性质 $(†)$．

证明 证明是很直接的．

• 自反性：由于 $a^{-1}a=e_G\in H$，我们有 $a{\sim }_{L}b$；
• 对称性：若 $a{\sim }_{L}b$，则 $a^{-1}b\in H$．由于 $H$ 是子群，b^{-1} a = (a^{-1}b){-1} \in H$，故 $b{\sim }_{L}a$；
• 传递性：若 $a{\sim }_{L}b$ 且 $b{\sim }_{L}c$，则 $a^{-1}b,b^{-1}c\in H$，故 $a^{-1}c=(a^{-1}b)(b^{-1})c\in H$，即 $a{\sim }_{L}c$．

为验证 $(†)$，设 $a{\sim }_{L}b$，即 $a^{-1}b\in H$．对任意 $g\in G$，我们有

$$(ga{)}^{-1}(gb)=a^{-1}{g}^{-1}gb{a}^{-1}b\in H,$$

故 $ga{\sim }_{L}gb$．

结合上述两个正反向的命题，我们得到：

命题 6 对于群 $G$，其任意子群与任意 $G$ 上满足 $(†)$ 的等价关系之间都是一一对应的．对于子群 $H$ 所对应的等价关系 ${\sim }_L$，相应的商集 $G/{\sim }_L$ 的元素可用 $H$ 的左陪集 $aH$ 描述．

以完全一致的方式可以证明右陪集的性质．

命题 7 对于群 $G$，其任意子群与任意 $G$ 上满足 $(††)$ 的等价关系之间都是一一对应的．对于子群 $H$ 所对应的等价关系 ${\sim }_L$，相应的商集 $G/{\sim }_L$ 的元素可用 $H$ 的右陪集 $Ha$ 描述．

注意右陪集上的等价关系定义为

$$a{\sim }_{R}b⟺a{b}^{-1}\in H⟺Ha=Hb.$$

显然对任意 $h_1,h_2\in H$ 我们有 $h_{1}H=H{h}_2$，但是一般来说（对于非交换群）子群 $H$ 的左陪集未必与右陪集一致，即一般而言 $aH\ne Ha$．

例 2 考虑置换群 $S_3$，其子群 $H$ 取为翻折变换 $1\leftrightarrow 2$ 所生成的子群，即

$$H:=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\right\}.$$

此时

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)H=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)\right\},$$

而

$$H\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)\right\}.$$

因此，一般来说条件 $(†)$ 与 $(††)$ 是独立的．

由正规子群构造的商

对于分别满足 $(†)$ 和 $(††)$ 的等价关系 ${\sim }_L$ 与 ${\sim }_R$，我们有商集

$$G/{\sim }_L=\{aH|a\in G\},G/{\sim }_R=\{Ha|a\in G\}.$$

如果 $\sim$ 同时满足 $(†)$ 和 $(††)$（换言之可视作 $\sim ={\sim }_L={\sim }_R$），则 $aH$ 与 $Ha$ 同时是 $a$ 的等价类，即 $aH=Ha$，而反之亦然．这一条件正是正规子群的定义．

命题 8 对于如上的子群 $H$ 上的等价关系 ${\sim }_L$ 与 ${\sim }_R$，它们相等当且仅当 $H$ 是正规子群．

我们曾证明过：只有当等价关系同时满足 $(†)$ 与 $(††)$ 时，商集 $G/\sim$ 才能自然诱导出一个群结构，而这等价于 $e_G$ 的等价类是正规子群．一般地，我们给出如下定义．

定义 3 设 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，定义 $G$ 上的等价关系 $a\sim b$ 为 $aH=bH$，则称商集 $G/\sim$ 为 $\mathbf{G}$ 模 $\mathbf{H}$ 的商群（quotient group of $G$ modulo $H$），记作 $G/H$，其中的运算定义为

$$(aH)(bH):=(ab)H.$$

群 $G/H$ 的单位元 $e_{G/H}$ 就是 $e_G$ 的等价类 $e_{G}H=H$．

商函数 $\pi :G\to G/H$ 将 $g\in G$ 映射到 $gH=Hg$．根据我们对商映射的了解，它应当也满足某种泛性质．

定理 9 设 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，则对每个群同态 $\phi :G\to G^{\prime }$（其满足 $H\subseteq \ker \phi$），存在唯一的群同态 $\tilde{\phi }:G/H\to G^{\prime }$ 使得下图交换：

证明 在先前的证明中我们已经说明了 $G/\sim$ 的泛性质，现在只需验证 $\sim$ 符合这其中的条件．

由 $H\subseteq \ker \phi$ 可知对任意 $h\in H$ 有 $\phi (h)=e_{G^{\prime }}$，于是

$$\forall a,b\in G:a{b}^{-1}\in H⟹\phi (a{b}^{-1})=e_{G^{\prime }},$$

亦即

$$\forall a,b\in G:a{b}^{-1}\in H⟹\phi (a)=\phi (b).$$

回顾 $\sim$ 的定义，$a\sim b⟺aH=bH⟺a{b}^{-1}\in H$，于是

$$\forall a,b\in G:a\sim b⟹\phi (a)=\phi (b).$$

$G/H=G/\sim$ 的泛性质便从已有证明推出．

例子

我们曾把 $n$ 阶（加法）循环群记作 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，现在来分析以下这个记号．对任意整数 $a$ 和 $b$，其同余关系定义为

$$a\equiv b(\mathrm{mod}n)⟺n\mid (b-a),$$

换言之就是

$$b-a\in n\mathbb{Z}.$$

注意 $b-a$ 是 $b{a}^{-1}=a^{-1}b$ 在交换群中的写法．可见同余关系就对应了前文所定义的等价关系 ${\sim }_L$，又由于 $n\mathbb{Z}$ 是交换群，它自然是 $\mathbb{Z}$ 的正规子群，因此我们有商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，其中的元素为等价类

$$a+n\mathbb{Z}=[a{]}_n.$$

一般而言，对于正规子群 $H$，根据命题

$$a{b}^{-1}\in H⟺aH=bH,$$

我们可以将所有相差 $H$ 中元素的对象视作相同的（这对应到等价类 $aH$）来构造商群．例如 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 就是通过将 $\mathbb{Z}$ 中相差 $nz$ $(z\in \mathbb{Z})$ 的元素统一成一个等价类而构造的．

核 ⟺ 正规子群

我们已经证明过群同态的核都是正规子群（即“核 $⟹$ 正规”）．而对于任意正规子群 $H$ 及其对应的商函数 $\pi :G\to G/H$，我们有

$$\ker \pi =\{g\in H|gH=H\}=H,$$

因此每个正规子群都是商函数的核，即“正规 $⟹$ 核”．于是正规性与核在群论中是等价的概念．