范畴 Grp

对群之间的映射，我们可以附加额外条件，要求其保持群乘法结构，以此构成一个新范畴 $\mathsf{Grp}$ 中的态射．

群同态

设 $G$ 为群，其上有一个具有单位元、结合律且可逆的二元运算

$$m_G:G\times G\to G.$$

对任意两个群 $(G,m_G)$ 和 $(H,m_H)$，其间的群同态（group homomorphism）

$$\phi :(G,m_G)\to (H,m_H)$$

首先是一个集合函数 $\phi :G\to H$，同时它还要保持群的运算结构．什么样的结构是我们自然而然想要保持的？

对任意集合函数 $\phi :G\to H$，根据（笛卡尔）积的泛性质，我们有（笛卡尔）积函数

$$\phi \times \phi :G\times G\to H\times H,$$

其定义式为

$$(\phi \times \phi )(a,b)=(\phi (a),\phi (b)),a,b\in G.$$

以积函数为媒介，我们能画出以下图：

那么一个自然地想法是：让上述图交换．

定义 1 设 $(G,m_G)$ 和 $(H,m_H)$ 为群，若 $\phi :G\to H$ 使得上述图交换，则称其为 $(G,m_G)$ 到 $(H,m_H)$ 的一个群同态（group homomorphism）．

当然只用图来描述群同态显得过于抽象，它可以用更精细的方式描述．为方便书写，我们将 $ab$ 视作 $m_G(a,b)$ 或 $m_H(a,b)$ 的同义词，具体表示哪个群上的运算取决于上下文．

命题 1 设 $(G,m_G)$ 和 $(H,m_H)$，则 $\phi :G\to H$ 是群同态当且仅当对任意 $a,b\in G$ 都有

$$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b).$$

证明 只需将“图交换”翻译过来即可．设 $a,b\in G$ 为任意元素．沿着图上方的路径得到复合函数 $m_H\circ (\phi \times \phi )$，其满足

$$m_H((\phi \times \phi )(a,b))=m_H(\phi (a),\phi (b))=\phi (a)\phi (b).$$

沿着下方路径得到复合函数 $\phi \circ m_G$，其满足

$$\phi (m_G(a,b))=\phi (ab).$$

因此“图交换”等价于 $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$．

范畴 Grp

现在我们定义范畴 $\mathsf{Grp}$．其对象为全体群构成的类．对任意群 $G$ 与 $H$，定义 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Grp}}(G,H)$ 为全体从 $G$ 到 $H$ 的群同态构成的集合，态射的复合就是群同态的复合（亦即集合函数的复合）．换言之，$\mathsf{Grp}$ 中的态射就是群同态．当上下文明确所讨论的范畴是 $\mathsf{Grp}$ 时我们常常将“群同态”简称为“同态”．

显然恒等函数 ${\mathrm{id}}_G$ 是群同态，它就是 $G$ 上的单位态射．

对任意群 $G,H,K$ 以及群同态 $\phi :G\to H$、$\psi :H\to K$，要验证态射的结合性，只需验证下图是交换的．

这几乎是不言自明的，读者可自行验证．综上所述，我们验证了 $\mathsf{Grp}$ 确实是一个范畴．

暂停思考：逆运算

细心的读者可能已经发现了一个问题：群上还有一个求逆的运算

$$\begin{array}{c}{\iota }_G:G\times G,\\ g\mapsto g^{-1},\end{array}$$

我们尚未对其作任何讨论．我们自然希望群同态也能够保持逆的结构，也就是保持下图交换．

幸运的是，这无需修改目前对群同态的定义：它自然满足．

命题 2 设 $\phi :G\to H$ 是群同态，则

• $\phi (e_G)=e_H$；
• $\forall g\in G:\phi (g^{-1})=\phi (g{)}^{-1}$．

证明 对于群同态 $\phi$ 有

$$\phi (e_G)=\phi (e_G\cdot e_G)=\phi (e_G)\phi (e_G),$$

根据 $H$ 上的消去律（即两侧同时乘以 $\phi (e_G{)}^{-1}$）得到 $e_H=\phi (e_G)$．

对任意 $g\in G$ 有

$$\phi (g^{-1})\phi (g)=\phi (g^{-1}g)=\phi (e_G)=e_H,$$

两侧同乘 $\phi (g{)}^{-1}$ 得到 $\phi (g^{-1})=\phi (g{)}^{-1}$．

积

$\mathsf{Grp}$ 很像 $\mathsf{Set}$，其中的群同态都可以视作普通的集合函数，但两者自然也是有很多不同之处的．我们知道 $\mathsf{Set}$ 中 $\varnothing$ 是始对象，但没有终对象．

命题 3 平凡群是 $\mathsf{Grp}$ 中的始对象与终对象．

证明 平凡群 $\{e\}$ 显然是终对象，因为到其上的映射只能是常值函数 $e$，且这显然是群同态．

欲证 $\{e\}$ 是始对象，需要证明：对任意群 $G$ 而言，形如 $\phi :\{e\}\to G$ 的群同态是唯一的．由于群同态具有性质 $\phi (e)=e_G$，这就唯一确定了定义域中元素的映射法则．因此 $\phi$ 只能是常值函数 $e_G$．

$\mathsf{Grp}$ 中也有满足泛性质的积．对任意群 $G$ 与 $H$，我们依然记 $G\times H$ 为集合的（笛卡尔）积，并为 $G\times H$ 定义一个运算以使其成为群：

$$(g_1,h_1)\cdot (g_2,h_2):=(g_1{g}_2,h_1{h}_2),g_1,g_2\in G,h_1,h_2\in H.$$

显然单位元是 $(e_G,e_H)$，$(g,h)$ 的逆是 $(g^{-1},h^{-1})$．运算的结合律也是显然的．

我们依然令 ${\pi }_G:G\times H\to G$ 与 ${\pi }_H:G\times H\to H$ 为 $\mathsf{Set}$ 中（笛卡尔）积所对应的投影函数，即

$${\pi }_G(g,h)=g,{\pi }_H(g,h)=h.$$

这两个函数显然也是群同态．

命题 4 对于如上定义的逐元素乘法运算，$G\times H$ 是 $\mathsf{Grp}$ 中的积．

证明 任取群 $A$ 和群同态 ${\phi }_G:A\to G$、${\phi }_H:A\to H$．根据 $\mathsf{Set}$ 中的结论，我们唯一存在映射 ${\phi }_G\times {\phi }_H$ 使得下图交换：

故只需证明 ${\phi }_G\times {\phi }_H$ 为群同态．对任意 $a,b\in A$ 有

$$\begin{array}{rl}({\phi }_G\times {\phi }_H)(ab)& =({\phi }_G(ab),{\phi }_H(ab))=({\phi }_G(a){\phi }_G(b),{\phi }_H(a){\phi }_H(b))\\ & =({\phi }_G(a),{\phi }_H(a))({\phi }_G(b),{\phi }_H(b))=({\phi }_G\times {\phi }_H)(a)({\phi }_G\times {\phi }_H)(b),\end{array}$$

故 ${\phi }_G\times {\phi }_H$ 是群同态．

$\mathsf{Grp}$ 上也存在余积，但这需要引入自由群的概念，而集合的不相交并不再适用．由于我们几乎不使用群的余积，这里不过多赘述．

阿贝尔群

范畴 $\mathsf{Ab}$ 则是所有阿贝尔群（交换群）以及其间的群同态构成的范畴，它性质更好，也是后面很多地方都要用到的范畴．很容易验证在 $\mathsf{Ab}$ 中，平凡群依然是始对象与终对象，且集合的（笛卡尔）积依然是 $\mathsf{Ab}$ 中的积．与 $\mathsf{Grp}$ 不同的地方在于，$\mathsf{Ab}$ 中的余积和积是一样的．对于阿贝尔群之间的（余）积，我们一般称之为直和（direct sum），并记作 $G\oplus H$．这与 $G\times H$ 的含义是一样的，但可用于强调 $G$ 和 $H$ 是阿贝尔群，且此时群运算一般使用加法 $+$ 表示．

命题 5 集合的（笛卡尔）积是 $\mathsf{Ab}$ 中的余积．

证明 设 $G$ 与 $H$ 是阿贝尔群，定义包含映射

$$\begin{array}{rlr}{i}_G& :G\to G\times H,& a\mapsto (a,0_H),\\ i_H& :H\to G\times H,& b\mapsto (0_G,b).\end{array}$$

任取阿贝尔群 $A$ 和群同态 ${\phi }_G:G\to A$、${\phi }_H:H\to A$，我们证明唯一存在群同态 $\sigma$ 使得下图交换：

如果 $\sigma$ 存在，则对任意 $a\in G$ 和 $b\in H$ 有

$$\begin{array}{rl}{\phi }_G(a)& =\sigma (i_G(a))=\sigma (a,0_H),\\ {\phi }_H(b)& =\sigma (i_H(b))=\sigma (0_G,b),\end{array}$$

进而

$$\begin{array}{rl}\sigma (a,b)& =\sigma (a+0_G,0_H+b)=\sigma (a,0_H)+\sigma (0_G,b)\\ & ={\phi }_G(a)+{\phi }_H(b).\end{array}$$

换言之，如果 $\sigma$ 存在，则它只可能定义为

$$\sigma (a,b):={\phi }_G(a)+{\phi }_H(b),$$

于是我们只需验证如此定义的 $\sigma$ 为群同态．对任意 $a_1,a_2\in G$ 和 $b_1,b_2\in H$ 有

$$\begin{array}{rl}\sigma (a_1+a_2,b_1+b_2)& ={\phi }_G(a_1+a_2)+{\phi }_H(b_1+b_2)\\ & =({\phi }_G(a_1)+{\phi }_G(a_2))+({\phi }_H(b_1)+{\phi }_H(b_2))\\ & =({\phi }_G(a_1)+{\phi }_H(b_1))+({\phi }_G(a_2)+{\phi }_H(b_2))\\ & =\sigma (a_1,b_1)+\sigma (a_2,b_2),\end{array}$$

故 $\sigma$ 确实是群同态．注意上述证明过程中要求 $A$ 是阿贝尔群．

上述证明过程中唯一确定的群同态 $\sigma$ 一般记作 ${\phi }_G\oplus {\phi }_H$．