群同态

一些例子

设 $G$ 是任意群，$g\in G$，定义 ${ϵ}_g:\mathbb{Z}\to G$ 为

$${ϵ}_g(a):=g^a,a\in \mathbb{Z}.$$

显然 ${ϵ}_g(a+b)=g^a{g}^b$，因此 ${ϵ}_g$ 是群同态，且 $g$ 生成 $G$ 当且仅当 ${ϵ}_g$ 是满射．

这样一个映射的具体例子我们已经见过了：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的典范投影 ${\pi }_n:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，

$${\pi }_n(a)=[a{]}_n,a\in \mathbb{Z}.$$

${\pi }_n$ 实际上就是 ${ϵ}_{[1{]}_n}$．

此外，对任意正整数 $m$ 与 $n$，若 $m\mid n$，则我们可以定义一个群同态

$${\pi }_m^n:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$$

使得下图交换：

其定义为

$${\pi }_m^n([a{]}_n)=[a{]}_m.$$

读者很容易验证在 $m\mid n$ 时该函数是良定义的，且是群同态．

于是，若正整数 $m_1$ 与 $m_2$ 都是 $n$ 的因数，则我们有群同态

$${\pi }_{m_1}^n\times {\pi }_{m_2}^n:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/m_2\mathbb{Z}.$$

例如，由于 $6=2\cdot 3$，我们有群同态

$${\pi }_2^6\times {\pi }_3^6:\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.$$

其所有像为

$$\begin{array}{rlrlrl}[0{]}_6& \mapsto ([0{]}_2,[0{]}_3),& [1{]}_6& \mapsto ([1{]}_2,[1{]}_3),& [2{]}_6& \mapsto ([0{]}_2,[2{]}_3),\\ [3{]}_6& \mapsto ([1{]}_2,[0{]}_3),& [4{]}_6& \mapsto ([0{]}_2,[1{]}_3),& [5{]}_6& \mapsto ([1{]}_2,[2{]}_3).\end{array}$$

我们可通过遍历检验该映射是一个双射，也就是 $\mathsf{Grp}$ 中的同构（这一点在后文会展开说明）．根据积的泛性质，$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 在 $\mathsf{Grp}$ 中应当能作为 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 的积．事实上，我们只需要将积中的投影函数定义为 ${\pi }_2^6$ 和 ${\pi }_3^6$ 即可．

对于不整除的情形，例如映射 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$，是否存在合适的群同态呢？使用阶可以帮助我们判断．

群同态与阶

命题 1 设 $\phi :G\to H$ 是群同态，$g\in G$ 的阶有限，则 $|\phi (g)|$ 有限且整除 $|g|$．

证明 由

$$e_H=\phi (e_G)=\phi (g^{|g|})=\phi (g{)}^{|g|},$$

即得证．

例 1 不存在形如 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 的非平凡同态．事实上 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的元素的阶都有限，但 $\mathbb{Z}$ 中除了 $0$ 以外的元素的阶都是无穷的，而群同态只能将有限阶的元素映射到有限阶的元素，因此只可能是常值函数 $0$，也就是平凡同态．

例 2 不存在形如 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ 的非平凡同态，因为 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 中的元素的阶都整除 $4$：

$$|[m{]}_4|=\frac{4}{\gcd (m,4)},$$

$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ 中的元素的阶都整除 $7$，故对任意群同态 $\phi$ 都要求 $\phi (a)$ 同时整除 $4$ 与 $7$，这就只可能有 $|\phi (a)|=1$，也就是常值函数 $\phi (a)=[0{]}_7$．

当然一般而言群同态并不能保持阶不变．考虑 ${\pi }_n:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，$1\in \mathbb{Z}$ 的阶是无穷，而 $[1{]}_n\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的阶是 $n$．

群同构

范畴中的同构定义为存在逆的态射．对于 $\mathsf{Grp}$，这一点与函数的双射是等价的．

命题 2 设 $\phi :G\to H$ 是群同态，则它是群同构（即范畴 $\mathsf{Grp}$ 中的同构）当且仅当它是双射（即范畴 $\mathsf{Set}$ 中的同构）．

证明 群同态是特殊的函数，因此群同构自然是双射，于是我们只需证明双射群同态就是群同构．

假设 $\phi :G\to H$ 是双射，则它在 $\mathsf{Set}$ 中存在逆

$${\phi }^{-1}:H\to G.$$

我们证明它是群同态．对任意 $h_1,h_2\in H$，令 $g_1:={\phi }^{-1}(h_1)$，$g_2:={\phi }^{-1}(h_2)$，则

$$\begin{array}{rlr}{\phi }^{-1}(h_1{h}_2)& ={\phi }^{-1}(\phi (g_1)\phi (g_2))& \\ & ={\phi }^{-1}(\phi (g_1{g}_2))& \\ & =g_1{g}_2& ={\phi }^{-1}(h_1){\phi }^{-1}(h_2),\end{array}$$

因此 ${\phi }^{-1}$ 确实是群同态．

例 3 我们曾给出过一个双射 $D_6\to S_3$，它自然是一个群同构．$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 之间也是同构的．

有了群同构的概念，我们可以正式对循环群下定义．

定义 1 若群 $G$ 同构于 $\mathbb{Z}$，则称 $G$ 为无限循环群（infinite cylic group）．若存在正整数 $n$ 使得群 $G$ 同构于 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，则称 $G$ 为 $\mathbf{n}$ 阶循环群（cyclic group of order $n$）．对于 $n$ 阶循环群，我们常常也使用记号 $C_n$ 表示，但此时一般使用乘法运算而非加法运算．

例 4 $C_6\cong C_2\times C_3$．

由于 $[1{]}_n$ 生成 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$．对于一般的 $C_n$，其中一定有一个元素 $g$ 在同构下映射为 $[1{]}_n$，从而 $C_n$ 的所有元素都可以写作 $g^i$ 的形式，且 $g^n=e$．

命题 3 对任意正整数 $m,n$，若 $\gcd (m,n)=1$，则 $C_m\times C_n\cong C_{mn}$．

证明 设 $C_m$ 由 $a$ 生成，$C_m$ 由 $b$ 生成，$a^m=e$，$b^n=e$．令 $g:=(a,b)\in C_m\times C_n$．显然

$$g^{mn}=(a^{mn},b^{mn})=(e,e),$$

因此 $|g|$ 有限．

对任意 $k\in \mathbb{Z}$，若 $g^k=(e,e)$（这样的 $k$ 至少存在一个 $mn$），则

$$a^k=e,b^k=e,$$

故 $m\mid k$，$n\mid k$，即 $k$ 是 $m$ 与 $n$ 的公倍数，其中最小的正整数 $k$ 为 $\mathrm{lcm}(m,n)$．又

$$mn=\gcd (m,n)\mathrm{lcm}(m,n)=\mathrm{lcm}(m,n),$$

因此满足 $g^k=(e,e)$ 的最小正整数 $k$ 为 $mn$，即 $|g|=mn$．

由于 $|C_m\times C_n|=mn$，这说明 $g$ 生成 $C_m\times C_n$．又生成元的阶是 $mn$，$C_m\times C_n\cong C_{mn}$．

对于乘法群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\ast }$（其中 $p$ 为素数），它也是循环群，但目前的方法尚不支持我们证明这一点．

同构意味着两种对象能够在群范畴内视作相同的对象．以下命题是这一思想的一种体现．

命题 4 设 $\phi :G\to H$ 是群同构，则

• 对任意 $g\in G$ 都有 $|\phi (g)|=|g|$；
• $G$ 是交换群当且仅当 $H$ 是交换群．

证明 对任意 $g\in G$，我们有 $|\phi (g)|$ 整除 $|g|$．反过来，令 $h=\phi (g)$，则 $|{\phi }^{-1}(h)|$ 整除 $|h|$，亦即 $|g|$ 整除 $\phi (g)$．综上所述 $|\phi (g)|=|g|$．

若 $G$ 是交换群，则对任意 $a,b\in H$，令 $g:={\phi }^{-1}(a)$，$h:={\phi }^{-1}(b)$，有

$$ab=\phi (g)\phi (h)=\phi (gh)=\phi (hg)=\phi (h)\phi (g)=ba,$$

即 $H$ 是交换群．反向蕴含可同理证明．

例 5 $C_6≆S_3$．尽管两者的阶都是 $6$，但两者中各种阶所对应的元素个数不同：

元素的阶	$1$	$2$	$3$	$6$
$C_6$ 中对应阶的元素个数	1	1	2	2
$C_3$ 中对应阶的元素个数	1	3	2	0

对于任意两个有限交换群，两者同构当且仅当各阶所对应的元素个数相等，但我们目前还不足以证明这个结论．

阿贝尔群的群同态

对于范畴 $\mathsf{Ab}$，同态集 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ab}}(G,H)$ 构成一个阿贝尔群．对任意 $\mathsf{Ab}$ 中的群同态 $\phi ,\psi :G\to H$，其上的运算 $\phi +\psi :G\to H$ 定义为

$$(\phi +\psi )(g):=\phi (g)+\psi (g),g\in G,$$

也就是函数之间的加法．很容易验证这也是群同态：对任意 $a,b\in G$ 有

$$\begin{array}{rl}(\phi +\psi )(a+b)& =\phi (a+b)+\psi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)+\psi (a)+\psi (b)\\ & =\phi (a)+\psi (a)+\phi (b)+\psi (b)=(\phi +\psi )(a)+(\phi +\psi )(b),\end{array}$$

因此 $\phi +\psi \in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ab}}(G,H)$．

常值函数 $0_H$ 可作为 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ab}}(G,H)$ 的单位元，而任意 $\phi \in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ab}}(G,H)$ 的逆 $-\phi$ 定义为

$$(-\phi )(g):=-\phi (g),g\in G.$$

事实上要使得 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Set}}(G,H)$ 为阿贝尔群（其元素不一定是群同态），只需要 $H$ 是阿贝尔群即可，$G$ 可以是任意的一般集合．