群的定义

群与广群

所有态射都是同构的范畴称为广群（groupoid）．

笑话 定义：群（group）是只有一个元素的广群．

事实上这是完全可行的定义，但这样的描述太抽象了，很难让人理解群到底是什么东西．我们来仔细研究一下这个定义．假设某个范畴中只有一个对象 $\ast$．由于这个范畴是广群，所有态射都是同构，即

$$\mathrm{Hom}(\ast ,\ast )=\mathrm{Aut}(\ast ),$$

则对任意态射 $f\in \mathrm{Aut}(\ast )$ 都存在相应的逆 $f^{-1}\in \mathrm{Aut}(\ast )$．此外，根据范畴的定义，态射间具有复合运算，其具有结合性，同时我们还有单位态射 $1_{\ast }$ 满足 $1_{\ast }f=f{1}_{\ast }=f$．这些信息就足以建立群的概念，下面让我们给出正式定义．

定义 1 设 $G$ 是非空集合，其上有一个二元运算（称为“乘法”）

$$\bullet :G\times G\to G.$$

对任意 $g,h\in G$，我们记 $\bullet (g,h)=:g\bullet h$，并在不致歧义的情况下记作 $gh$．

若

• 运算 $\bullet$ 具有结合律，即

  $$\forall g,h,k\in G:(g\bullet h)\bullet k=g\bullet (h\bullet k);$$

• 运算 $\bullet$ 存在单位元 $e_G$，即

  $$\exists e_G\in G:\forall g\in G:g\bullet e_G=g=e_G\bullet g;$$

• 每个元素都存在逆（inverse），即

  $$\forall g\in G:\exists h\in G:g\bullet h=e_G=h\bullet g,$$

则称 $(G,\bullet )$ 为群（group），并在不致歧义的情况下简写为 $G$．

显然广群中的态射就是 $G$ 中的元素，而态射复合就是二元运算 $\bullet$，只不过颠倒了顺序：对一般范畴中的复合 $hg$，在讨论群时一般改写为 $g\bullet h=gh$ 以符合多数习惯．与同构的情形一致，所有元素的逆都是唯一的，因此 $g$ 的逆依然记作 $g^{-1}$．特别地 $e_G$ 的逆为其本身．根据单位元的定义也可知单位元是唯一的．

例 1 单元素集合 $G:=\{e\}$ 可以构成一个群，称为平凡群（trivial group），其中 $e$ 为单位元且只有一种可能的运算：$e\bullet e=e$．

例 2 $(\mathbb{Z},+)$、$(\mathbb{Q},+)$、$(\mathbb{R},+)$、$(\mathbb{C},+)$ 都是群，其中的单位元是 $0$，而任意元素 $a$ 的逆是 $-a$．这些都是很特殊的群，我们会在后面进一步解释．

例 3 任意自同构集 $\mathrm{Aut}(A)$ 都构成一个群．特别地，当 $A$ 是集合时，全体 $A$ 上的双射构成一个群．更特别地，若只考虑线性映射，则全体 $\mathbb{R}$ 上的可逆 $n$ 阶方阵构成一个群，称为 $n$ 阶一般线性群（general linear group），记作 ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$．这些群都不具有交换律，即一般而言 $gh\ne hg$．

设 $(G,\bullet )$ 为群．对任意群元素 $g\in G$，我们定义 $g^0:=e_G$．此外，对任意正整数 $n$，定义

$$g^n:=\underset{n\text{个}g}{\underbrace{g\bullet g\bullet \cdots \bullet g}},g^{-n}:=\underset{n\text{个}{g}^{-1}}{\underbrace{g^{-1}\bullet g^{-1}\bullet \cdots \bullet g^{-1}}}.$$

于是可以验证：对任意 $m,n\in \mathbb{Z}$ 都有

$$g^{m+n}=g^m\bullet g^n.$$

消去律

命题 1 设 $G$ 为群，则对任意 $a,g,h\in G$ 都有：

$$ga=ha⟹g=h,ag=ah⟹g=h.$$

证明 只需分别右乘和左乘 $a^{-1}$ 即可．

如果运算不满足消去律，则相应的结构也就不构成群．例如 $\mathbb{R}$ 上的乘法有 $1\cdot 0=2\cdot 0=0$，这说明实数连同其上的乘法不构成群．然而，对于 ${\mathbb{R}}^{\ast }:=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ 连同实数乘法，它构成群．

交换群

定义 2 设 $(G,\bullet )$ 是群．若运算 $\bullet$ 还满足交换律，即

$$\forall g,h\in G:g\bullet h=h\bullet g,$$

则称 $(G,\bullet )$ 为交换群（commutative group）或阿贝尔群（Abelian group）．

对于一般的交换群 $A$，我们习惯于将运算改写为加法 $+$，此时单位元可以记作 $0_A$，而任意 $a\in A$ 的逆元记作 $-a$．此外，我们定义 $0a=0_A$，且对任意正整数 $n$ 有

$$na:=\underset{n\text{个}a}{\underbrace{a+a+\cdots +a}},(-n)a:=\underset{n\text{个}-a}{\underbrace{(-a)+(-a)+\cdots +(-a)}}.$$

需要注意交换群中的记号 $na$ $(n\in \mathbb{Z})$ 并不是群运算，其上的消去律是

$$c+a=c+b⟹a=b(a,b,c\in A),$$

不可通过 $ma=nb$ $(m,n\in \mathbb{Z})$ 得到 $a=b$．

阶

定义 3 设 $G$ 为群，$g\in G$．若存在正整数 $n$ 使得 $g^n=e$，则定义其中最小的正整数 $n$ 为元素 $g$ 的阶（order），记作 $|g|$，并称此时的阶是有限的．若不存在这样的正整数 $n$，则定义 $|g|=\infty$，称 $g$ 的阶是无限的．

显然 $|g|=|g^{-1}|$，因为 $g^n=e$ 等价于 $e=e^{-1}=(g^n{)}^{-1}=(g^{-1}{)}^n$．

给定元素 $g$，不断继续乘上 $g$ 可以得到

$$g,g^2,\dots ,g^{n-1},g^n.$$

若 $g^n=e$ 则序列构成一个循环，于是不难猜想以下性质．

引理 2 设 $G$ 为群，$g\in G$．若存在正整数 $n$ 使得 $g^n=e$，则 $|g|$ 整除 $n$．

证明 根据带余除法，存在一对 $q,r\in \mathbb{Z}$ 满足

$$n=q\cdot |g|+r,0\le r<|g|,$$

故

$$g^r=g^{n-q\cdot |g|}=g^n{\left(g^{|g|}\right)}^{-q}=e.$$

若 $r\ne 0$，则 $0<r<|g|$ 且 $g^r=e$，与 $|g|$ 的最小性矛盾，因此 $r=0$，从而 $|g|$ 整除 $n$．

推论 3 设 $G$ 为群，$g\in G$，$N\in \mathbb{Z}$，则

$$g^N=e⟺N\text{是}|g|\text{的倍数。}$$

定义 4 设 $G$ 为群．若 $G$ 是有限集合，则定义群 $G$ 的阶（order）为其元素个数，记作 $|G|$．若 $G$ 是无限集合，定义其阶为 $|G|=\infty$．

对任意 $g\in G$，群的消去律能够导出 $|g|\le |G|$．若 $|G|=\infty$ 则不等式平凡成立．若 $|G|<\infty$，则取 $|G|+1$ 个元素

$$g^0=e,g^1,g^2,\dots ,g^{|G|},$$

其中至少有两个元素是相同的，不妨设为 $g^i=g^j$ $(0\le i<j\le |G|)$．于是 $0<j-i\le |G|$ 且 $g^{j-i}=e$，从而 $|g|\le j-i\le |G|$．

提示

事实上在后面学了拉格朗日定理后我们会知道：对于有限群 $G$，其任意元素 $g\in G$ 的阶 $|g|$ 都整除 $|G|$．

元素的阶与元素乘积的阶并没有直接联系．

例 4 下面的例子说明即使 $|g|$ 和 $|h|$ 都是有限的，$|gh|$ 也可能是无穷大．

定义 $2\times 2$ 矩阵

$$g=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),h=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right),$$

则

$$g^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),g^3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),g^4=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

且

$$h^2=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right),h^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$

故 $|g|=4$，$|h|=3$．而

$$gh=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),$$

可用归纳法证明

$$(gh{)}^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right),$$

故 $|gh|=\infty$．

后文会给出一个例子说明即使 $|gh|$ 是有限的，它也可能取到任何值，并不与 $|g|$ 或 $|h|$ 有必然联系．

已知 $g$ 的阶时，我们给出计算 $g^m$ 的阶的方法．

命题 4 设 $G$ 是群、$g\in G$ 且 $|g|<\infty$，则对任意非负整数 $m$ 都有

$$|g^m|=\frac{\mathrm{lcm}(m,|g|)}{m}=\frac{|g|}{\gcd (m,|g|)}.$$

证明 由于 $m|g|=\gcd (m,|g|)\cdot \mathrm{lcm}(m,|g|)$，我们只需证明其中任意一个等号．这里证明 $|g^m|=\mathrm{lcm}(m,|g|)/m$．

由于 ${\left(g^m\right)}^{|g|}=g^{m|g|}={\left(g^{|g|}\right)}^m=e$，我们有 $|g^m|<\infty$．记 $d:=|g^m|$，则 $d$ 是使得 $g^{mn}=e$ 成立的最小正整数 $n$．由 $g^{md}=e$ 可知 $md$ 是 $|g|$ 的倍数，而它本身又是 $m$ 的倍数，因此 $md$ 是 $|g|$ 与 $m$ 的公倍数．由 $d$ 的最小性，$md$ 是最小公倍数 $\mathrm{lcm}(m,|g|)$，故 $|g^m|=d=\mathrm{lcm}(m,|g|)/m$．

对于可交换元素，其乘积的阶有一定限制．

命题 5 设 $G$ 为群且 $g,h\in G$．若 $|g|<\infty$、$|h|<\infty$ 且 $gh=hg$，则 $|gh|$ 整除 $\mathrm{lcm}(|g|,|h|)$．

证明 令 $m:=|g|$，$n:=|h|$．对任意 $m$ 与 $n$ 的公倍数 $N$，我们有 $g^N=h^N=e$，于是

$$(gh{)}^N=\underset{N\text{个}gh}{\underbrace{(gh)(gh)\cdots (gh)}}=\underset{N\text{个}g}{\underbrace{gg\cdots g}}\cdot \underset{N\text{个}h}{\underbrace{hh\cdots h}}=e,$$

这说明 $|gh|$ 整除 $N$，特别地 $|gh|$ 整除 $\mathrm{lcm}(m,n)$．

乘积的阶只对以下特殊情形有良好的运算性质．

命题 6 设 $G$ 为群且 $g,h\in G$、$|g|<\infty$、$|h|<\infty$．若 $gh=hg$ 且 $\gcd (|g|,|h|)=1$，则 $|gh|=|g||h|$．

证明 令 $N:=|gh|$，则 $(gh{)}^N=g^N{h}^N=e$，故 $g^N=h^{-N}={\left(h^{-1}\right)}^N$，进而

$${\left(h^{-1}\right)}^{N|g|}=g^{N|g|}=e.$$

这说明 $|h^{-1}|$ 整除 $N|g|$，也就是 $|h|$ 整除 $N|g|$．由于 $\gcd (|g|,|h|)=1$，我们可得 $|h|$ 整除 $N$．

类似地，根据

$$g^{N|h|}={\left(h^{-1}\right)}^{N|h^{-1}|}=e$$

可知 $|g|$ 整除 $N|h|$，进而可知 $|g|$ 整除 $N$．于是 $N$ 是 $|g|$ 与 $|h|$ 的公倍数，故

$$|g||h|=\gcd (|g|,|h|)\mathrm{lcm}(|g|,|h|)=\mathrm{lcm}(|g|,|h|)$$

整除 $N=|gh|$，从而 $|g||h|\le |gh|$．根据前一命题，我们有 $|gh|$ 整除 $\mathrm{lcm}(|g|,|h|)=|g||h|$，从而 $|gh|\le |g||h|$．综上所述 $|gh|=|g||h|$．