群作用

作用

定义 1 设 $G$ 是群，$\mathsf{C}$ 是一个范畴，$A$ 是 $\mathsf{C}$ 的一个对象．形如

$$\sigma :G\to {\mathrm{Aut}}_{\mathsf{C}}(A)$$

的群同态称为 $G$ 在 $A$ 上的一个作用（action）．

群作用是研究群的重要工具之一．对于群同态 $\sigma :D_6\to S_3$，它是 $\{1,2,3\}$ 上的一个作用，直观地理解就是用旋转和翻折操作 $1,2,3$．$\sigma$ 是同构，$D_6\cong S_3$．对于作用 $D_8\to S_4$，它只能是一个单射，表明 $D_8$ 对应 $S_4$ 的一个个群．

定义 2 设 $\sigma :G\to {\mathrm{Aut}}_{\mathsf{C}}(A)$ 是群 $G$ 在 $A$ 上的一个作用．若 $\sigma$ 是单射，则称 $\sigma$ 是忠实的（faithful）．

忠实性表明 $G$ 可视作自同构的子群．

集合上的作用

我们重点考察 $\mathsf{C}=\mathsf{Set}$ 的情形，此时作用有一个等价的定义．

注意在本节中，对于对称群中的元素，我们用普通的函数记号书写，因此其复合沿用函数复合的数学顺序．

定义 3 设 $G$ 是群，$A$ 是任意集合．形如

$$\rho :G\times A\to A$$

且对任意 $a\in A$ 和 $g,h\in G$ 都满足

$$\begin{array}{rl}\rho (e_G,a)& =a,\\ \rho (gh,a)& =\rho (g,\rho (h,a))\end{array}$$

的函数称为 $G$ 在 $A$ 上的一个作用（action）．

要验证等价性，只需令 $\sigma :G\to S_A$ 为

$$\sigma (g)(a):=\rho (g,a).$$

此时

$$\sigma (gh)(a)=\rho (gh,a)=\rho (g,\rho (h,a))=\sigma (g)(\sigma (h)(a))=(\sigma (g)\circ \sigma (h))(a),$$

故 $\sigma (gh)=\sigma (g)\circ \sigma (h)$．此外，

$$\sigma (g^{-1})\circ \sigma (g)(a)=\sigma (g^{-1}g)(a)=\sigma (e_G)(a)=\rho (e_G,a)=a,$$

故 $\sigma (g{)}^{-1}=\sigma (g^{-1})$．故 $\sigma$ 确实是群同态．

一般地，对于作用 $\rho :G\times A\to A$，我们也用乘法表示，即对任意 $g\in G$ 和 $a\in A$ 我们书写 $ga:=\rho (g,a)$．此时，对任意 $g,h\in G$ 和 $a\in A$ 有

$$(gh)a=g(ha).$$

当 $G$ 作用在 $A 上时，显然 $e_{G}a=a$．作用是忠实的当且仅当 $e_G$ 是唯一一个满足 $\forall a\in A:ga=a$ 的 $g\in G$．

若 $e_G$ 是唯一一个使得

$$\exists a\in A:ga=a$$

的 $g\in G$，则称相应的作用是自由的（free）．换言之，自由作用一定会改变输入（除了作用 $e_G$ 的平凡情形）．

例 1 每个群 $G$ 都可作用在自身上，$\rho G\times G\to G$ 定义为 $\rho (g,a)=ga$．

另一种常见的作用为

$$\rho (g,h)=gh{g}^{-1},g,h\in G,$$

这一般用来描述某种相似性．

定理 1（凯莱定理） 所有群都可忠实地作用在某个集合上．换言之，所有群都可视作某个置换群的子群．

证明 只需考虑群 $G$ 上的左乘作用 $\rho (g,a)=ga$，$e_G$ 是唯一一个满足对所有 $a\in G$ 都有 $ga=a$ 的 $g\in G$，故该作用是忠实的，它作用在 $S_G$ 上．

前文定义的作用可称为左作用．类似地我们也可以定义右作用．对任意 $g\in G$ 和 $a\in A$，将作用书写为 $ag$．此时对任意 $g,h\in G$ 有

$$a(gh)=(ag)h.$$

由于我们很容易将右作用改写为左作用，一般只讨论左作用．

传递作用与范畴 $G$-$\mathsf{Set}$

定义 4 对于群 $G$ 在非空集合 $A$ 上的作用，若

$$\forall a,b\in A:\exists g\in G:b=ga,$$

则称该作用是传递的（transitive）．

传递作用保证所有对象都能用作用联系起来．

定义 5 对于群 $G$ 在 $A$ 上的作用以及某个 $a\in A$，定义 $a$ 的轨道（orbit）为

$$O_G(a):=\{ga|g\in G\}.$$

由于轨道中的元素都是通过作用产生的，当 $G$ 作用在 $O_G(a)$ 上时自然是传递的．

定义 6 对于群 $G$ 在 $A$ 上的作用以及某个 $a\in A$，定义 $a$ 的稳定子群（stabilizer group）为

$${\mathrm{Stab}}_G(a):=\{g\in G|ga=a\}.$$

给定群 $G$，若它可作用在任意集合上，则我们能自然构造一个范畴 $G$-$\mathsf{Set}$，其中的对象是形如

$$\rho :G\times A\to A$$

的所有作用．作用 $\rho :G\times A\to A$ 与作用 ${\rho }^{\prime }:G\times A^{\prime }\to A^{\prime }$ 之间的态射定义为使得下图交换的集合函数 $\phi :A\to A^{\prime }$：

若用乘法的书写方式表示任意作用，则对任意 $g\in G$ 和 $a\in A$ 有

$$g\phi (a)=\phi (ga),$$

这表明作用 $g$ 与态射 $\phi$ 是可交换的．这样的函数 $\phi$ 称为 $G$ 等变的（$G$-equivariant）．容易验证 $G$-$\mathsf{Set}$ 中的同构就是 $G$ 等变的双射．

命题 2 设 $A$ 是非空集合．群 $G$ 在 $A$ 上的全体传递左作用同构于 $G$ 在 $G/H$ 上的左乘作用，其中 $H$ 可以是任意一个 $a\in A$ 的稳定子．

证明 任取 $a\in A$，$H:={\mathrm{Stab}}_G(a)$．我们证明

$$\begin{array}{c}\phi :G/H\to A,\\ gH\mapsto ga\end{array}$$

是 $G$ 等变的双射．

首先我们要证明 $\phi$ 是良定义的，即若 $g_{1}H=g_{2}H$ 则 $g_{1}a=g_{2}a$．由 $g_{1}H=g_{2}H$ 可知 $g_1^{-1}{g}_2\in H$，故根据 $H$ 的定义 $g_1^{-1}{g}_{2}a=a$，从而 $g_{1}a=g_{2}a$．

为验证 $\phi$ 是双射，定义

$$\begin{array}{c}\psi :A\to G/H,\\ ga\mapsto gH.\end{array}$$

这里能假设 $A$ 的元素都形如 $ga$ 是因为 $G$ 作用在 $A$ 上时是传递的．类似地可证明 $\psi$ 是良定义的．又显然 $\psi$ 与 $\phi$ 互逆，故 $\phi$ 是双射．

$\phi$ 的等变性是显然的：$\phi (g^{\prime }(gH))=g^{\prime }ga=g^{\prime }\phi (gH)$．

推论 3 设有限群 $G$ 作用在集合 $A$ 上．若 $O$ 是其中的任意轨道，则 $|O|$ 整除 $|G|$．

证明 由于轨道是传递的，对任意 $a\in O$ 我们有同构 $O\cong G/{\mathrm{Stab}}_G(a)$．根据 Lagrange 定理

$$|G|=[G:{\mathrm{Stab}}_G(a)]\cdot |{\mathrm{Stab}}_G(a)|=|O|\cdot |{\mathrm{Stab}}_G(a)|.$$